Chứng minh
Ta có các tính chất cơ bản sau:
AH=BD=AC và CT=BE=AC.
\angle KCA=90^o-\frac{\angle A}{2}=\angle AID (Do tam giác AHC cân)
Suy ra tứ giác AKIC nội tiếp
Tương tự tứ giác ALIC nội tiếp.
Hay 5 điểm A, L, K, I, C cùng thuộc đường tròn.
Vậy ta có đpcm.
Tính chất 2 phát biểu: Cho tam giác ABC đường tròn nội tiếp (I), đường tròn bàng tiếp góc A, B, C tương ứng tiếp xúc BC, CA, AB tại M, N, P. Ta có AM, BN, CP đồng quy tại một điểm khi AB+BC=3AC
Ta chứng minh một bổ đề:
Cho tam giác ABC nội tiếp (O), có đường kính AE, BF. Khi đó đường thẳng qua D song song BC và đường thẳng qua E song song AB cắt nhau tại một điểm thuộc (O).
Chứng minh: Gọi hai đường thẳng đó cắt nhau tại F. Do DF song song BC nên DF vuông BD, tương tự EF vuông EB. Vậy tứ giác FDBE nội tiếp hay F thuộc (O).
Trở lại bài toán. ta sẽ lấy hình 1, và dễ thấy M, N, P trong tính chất 2 là E, F, D trong hình trên.
Ta có AL song song EF do có hai tam giác ACT và tam giác CEF cùng cân tại C.
Tương tự CK song song DF. Vậy theo bổ đề trên ta có AL, CK cắt nhau tại 1 điểm thuộc (I).
Ngoài ra ta có bài toán sau: (USA MO 2001)Cho ABC có (I) là đường tròn nội tiếp tiếp xúc với BC,CA lần lượt tại D_1, E_1, D_2, E_2, là các điểm nằm trên BC,CA sao cho :C D_2 =B D_1 và C E_2 =A E_1 .Gọi P là giao điểm của A D_2 và B E_2 .Đường tròn (I) cắt A D_2 tại điểm,Q gần A.(Q là giao của A D_2 và (I)).Chứng minh :AQ= D_2 P.
Lời giải:
Khó có thể chứng minh trực tiếp được nên nếu ta đưa về tỉ số thì sẽ dễ chứng minh hơn. Mà ta lại có:
\frac{AQ}{AD_2}=\frac{r}{r_a} (r là tâm nội tiếp, r_a là tâm bàng tiếp )
Ta sẽ chứng minh : \frac{D_2P}{AD_2}=\frac{r}{r_a}
Vì B, P, E_2 thẳng hàng.
Theo menelaus cho tam giác AD_2C thì:
\frac{D_2P}{AP}=\frac{BD_2.CD_1}{BC.E_2A}=\frac{p-a}{a}
Suy ra:
\frac{D_2P}{AD_2}=\frac{p-a}{a}=\frac{r}{r_a}
Vậy ta có đpcm.
Áp dụng bài toán trên thì nếu cho:
P là giao của AT và CH. Thì :HP=CK và AL=PT.
Do đó ta sẽ có: tam giác AKC bằng APH và tam giác CTP bằng tam giác CAL
Từ đây có thể suy ra tính chấtt 1 dễ dàng: \angle ALC=\angle CPT=\angle APH=\angle AKC.
Ngoài ra: AK và AT là hai đường đẳng giác trong góc A và CL và CP là hai đường đẳng giác trong góc C. Suy ra L, K là hai điểm đẳng giác của tam giác ABC
Và I là trực tâm APC. Kết hợp với tính chất 2 là P thuộc (I) ta suy ra P đối xứng F qua I.
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét