Dùng định lý Miquel để giải bài toán hình học

Bài 1: Cho tam giác ABC nội tiếp (O). Các tiếp tuyến tại B, C cắt nhau tại T. Đường thẳng qua A vuông góc AT cắt BC tại S. $B_1, C_1$ trên ST (T nằm giữa $B_1$ và $C_1$, $B_1$nằm giữa S và T) sao cho $B_1T=BT=C_1T$. Chứng minh rằng tam giác $ABC$ đồng dạng tam giác $AB_1C_1$.

Lời giải:

Gọi M là trung điểm BC thì T,M,A,S đồng viên.

Ta cũng có $B_1,C_1,B,C$ đồng viên

Gọi K là giao của $BB_1$ và $CC_1$ thì $\widehat{BKC}=180^o-\widehat{KBC}-\widehat{BCK}=180^o-\widehat{KBC}-\widehat{B_1BT}=\widehat{TBC}$

Tương tự ta suy ra BT và CT là tiếp tuyến của $(KBC)$

Suy ra K thuộc (ABC) (Vì tâm của KBC là giao của đường thẳng qua B và C vuông BT và CT).

Vậy A là giao của (KBC) và (SMT). Gọi J là giao của $CB_1$ và $BC_1$ thì theo định lý Brocard $TJ \perp SSK$ tại A', Theo Pascal đảo cho 6 điểm BBKCJ ta suy ra J thuộc (KBC), mà A' lại thuộc (KJC) (Do IJ vuông SK tại A') Suy ra A' là giao của (KBC) và (SMT) vậy $A' \equiv A$

Hoặc cách khác: Do TA đã vuông SA, nên ta phải chứng minh TA vuông AK ( điều này có thể chứng minh bằng biến đổi góc cho S,A,K thẳng hàng).

Từ đó B là điểm Miquel của tam giác KSC nên tứ giác $ASB_1B$ nội tiếp, Suy ra A là điểm Miquel của $BCC_1B_1SK$. Cuối cùng theo phép vị tự quay tâm A góc quay $\varphi$ tỉ số $k$ ta có diều phải cm.