Toán học sơ cấp: Đại số hóa bất đẳng thức lượng giác

Thứ Bảy, 15 tháng 10, 2016

Đại số hóa bất đẳng thức lượng giác

Có nhiều bài toán bất đẳng thức ở dạng tam giác lượng thì việc chứng minh rất dễ dàng . Xong khi nó bị mã hóa về dạng đại số thì sẽ khá gây khó dễ để chứng minh nếu ta không hình dung được bản chất lượng giác ban đầu của nó

1.1 Biểu diễn các đại lượng theo biến mới

Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh là ${a,b,c }$ .Đặt $p=\frac{a+b+c}{2}$ , ${a=\frac{y+z}{2}}$ , $b=\frac{z+x}{2}$ , $c=\frac{x+y}{2}$ hay ${x=2\left ( p-a \right ), y=2\left ( p-b \right ), z=2\left ( p-c \right )}$ . Ta có các biểu diễn sau

${sinA=\frac{2\sqrt{xyz\left ( x+y+z \right )}}{\left ( x+y \right )\left ( x+z \right )}}$ , ${sinB=\frac{2\sqrt{xyz\left ( x+y+z \right )}}{\left ( y+x \right )\left ( y+z \right )}}$ , ${sinC=\frac{2\sqrt{xyz\left ( x+y+z \right )}}{\left ( z+x \right )\left ( z+y \right )}}$ ,

${cosA=\frac{x\left ( x+y+z \right )-yz}{\left ( x+y \right )\left ( x+z \right )}}$ , ${cosB=\frac{y\left ( x+y+z \right )-zx}{\left ( x+y \right )\left ( y+z \right )}}$ , ${cosC=\frac{z\left ( x+y+z \right )-yx}{\left ( x+z \right )\left ( y+z \right )}}$

${tanA=\frac{2\sqrt{xyz\left ( x+y+z \right )}}{x\left ( x+y+z \right )-yz}}$ , ${tanB=\frac{2\sqrt{xyz\left ( x+y+z \right )}}{y\left ( x+y+z \right )-zx}}$ , ${tanC=\frac{2\sqrt{xyz\left ( x+y+z \right )}}{z\left ( x+y+z \right )-xy}}$

${cotA=\frac{x\left ( x+y+z \right )-yz}{2\sqrt{xyz\left ( x+y+z \right )}}}$ , ${cotB=\frac{y\left ( x+y+z \right )-zx}{2\sqrt{xyz\left ( x+y+z \right )}}}$ , ${cotC=\frac{z\left ( x+y+z \right )-xy}{2\sqrt{xyz\left ( x+y+z \right )}}}$

$sin\frac{A}{2}=\sqrt{\frac{yz}{\left ( x+y \right )\left ( x+z \right )}}$ , $sin\frac{B}{2}=\sqrt{\frac{zx}{\left ( x+y \right )\left ( y+z \right )}}$ , $sin\frac{C}{2}=\sqrt{\frac{xy}{\left ( z+y \right )\left ( x+z \right )}}$

$cos\frac{A}{2}=\sqrt{\frac{x\left ( x+y+z \right )}{\left ( x+y \right )\left ( x+z \right )}}$ , $cos\frac{B}{2}=\sqrt{\frac{y\left ( x+y+z \right )}{\left ( x+y \right )\left ( y+z \right )}}$ , $cos\frac{C}{2}=\sqrt{\frac{z\left ( x+y+z \right )}{\left ( x+z \right )\left ( y+z \right )}}$

1.2 Xây dựng các bất đẳng thức đại số

Ví dụ 1. Cho các số thực ${x, y, z}$ dương. Chứng minh rằng ${\sum_{cyclic}\frac{x}{\left ( x+y \right )\left ( x+z \right )}\geq \frac{9}{4\left ( x+y+z \right )}}$

HD: bất đẳng thức này được sinh ra từ bất đẳng thức ${cosA+cosB+cosC\leqslant \frac{3}{2}}$

Ví dụ 2. [Văn Đức Chín] Cho các số thực ${x, y, z}$ dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng

${\sum \sqrt{x\left ( 1-x \right )}\geq \frac{4\sqrt{xyz}}{\sqrt{\left ( 1-x \right )\left ( 1-y \right )\left ( 1-z \right )}}}$

HD: bất đẳng thức này được sinh ra từ bất đẳng thức ${sinA+sinB+sinC\leq cos\frac{A}{2}+cos\frac{B}{2}+cos\frac{C}{2}}$

1.3. Bài tập

Bài 1. [Văn Đức Chín] Cho các số thực ${x, y, z}$ dương . Chứng minh rằng

${x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx\geq 2\sqrt{3}\sqrt{xyz\left ( x+y+z \right )}}$

Bài 2. [IMO,1983] Cho các số thực ${x, y, z}$ dương . Chứng minh rằng

${x^{3}y+y^{3}z+z^{3}x\geq x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}+z^{2}x^{2}}$

Bài 3. [Văn Đức Chín] Cho các số thực ${x, y, z}$ dương . Chứng minh rằng

${1+\frac{4xyz}{\left ( x+y \right )\left ( y+z \right )\left ( z+x \right )}\leq \sum_{cyclic}\sqrt{\frac{yz}{\left ( x+y \right )\left ( x+z \right )}}}$

Bài 4. [Văn Đức Chín] Cho các số thực ${x, y, z}$ dương . Chứng minh rằng

${64xyz\left ( x+y+z \right )^3\leq 27\left ( x+y \right )^2\left ( y+z \right )^2\left ( z+x \right )^2}$

Bài 5. [Văn Đức Chín]Cho các số thực ${x, y, z}$ dương thỏa mãn ${x+y+z> Max\left \{ \frac{xy}{z},\frac{yz}{x}, \frac{zx}{y} \right \}}$ . Chứng minh rằng ${\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{x+y+z} \geq 10\sqrt{\frac{x+y+z}{3xyz}}}$

Bài 6. [MO Korea 1998] Cho các số thực ${x, y, z}$ dương thỏa mãn ${xyz=x+y+z}$ . Chứng minh rằng

${\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+y^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+z^2}}\leq \frac{3}{2}}$

Bài 7. [Văn Đức Chín] Cho các số thực ${x, y, z,{\alpha} }$ dương , thỏa mãn ${xy+yz+zx=1}$ . Chứng minh rằng

${x^{\alpha} +y^{\alpha} +z^{\alpha}\geq 3^{1-\frac{{\alpha} }{2}}}$

Bài 8. [Văn Đức Chín] Cho các số thực ${x, y, z}$ dương có tổng bằng 1 và thỏa mãn ${1> Max\left \{ \frac{xy}{z},\frac{yz}{x}, \frac{zx}{y} \right \}}$ . Chứng minh rằng