Một bài toán lạ !

Bài toán (Hong Kong TST 2017); Tìm chữ số thập phân đầu tiên sau dấu phẩy của số: $\displaystyle \frac1{1009}+\frac1{1010}+\cdots + \frac1{2016}$

Lời giải:

Đặt $a_n=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\ldots+\frac{1}{2n}$ và chú ý rằng $a_n-a_{n-1}=\frac{1}{2n(2n-1)}$, vì vậy $a_n=\sum_{k=1}^n\frac{1}{2k(2k-1)}<\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{2k(2k-1)}=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}}{k}=\ln 2<0.7$. Và $a_{1008}=\sum_{k=1}^{1008}\frac{1}{2k(2k-1)}>\frac{1}{2}+\frac{1}{12}+\frac{1}{30}>0.6$, Vậy đáp số là 6.