Điểm đẳng động

Ta tiếp theo chuỗi bài tập về đường tròn Apollonius 
Bài 3: Ba đường tròn Apollonius của một tam giác có hai điểm chung. Ta gọi hai điểm chung này là hai điểm đẳng động (Isodynamic Point)
Lời giải
Giả sử J thuộc đường tròn Apollonius ứng với điểm A, và B của tam giác ABC thì ta có:

$\frac{JB}{JC}=\frac{AB}{AC},\frac{JC}{JA}=\frac{BC}{BA} \\ \Rightarrow \frac{JB}{JA}=\frac{CB}{CA}$ Vậy J thuộc đường tròn Apllonius ứng với điểm C

Tương tự J' ở ngoài (O).

Bài 4: Tâm của ba đường tròn này thẳng hàng.

Suy ra từ bài toán 3 nên ba đường tròn đồng trục.

Bài 5: Cho O và K là tâm đường tròn ngoại tiếp và điểm Lemoine của tam giác ABC, J, J' là hai điểm đẳng động . Chứng minh :
a) J, J', K, O thẳng hàng.
b) J' là nghịch đảo của J đối với đường tròn nghịch đảo (O)

Lời giải:
a)
Ta cần bổ đề sau:

Bổ đề 1: Nếu đường tròn (O,r) trực giao với hai đường tròn (A, p),(B, q) thì O thuộc trục đẳng phương của (A, p).(B.q).

Chỉ cần chứng minh phương tích điểm O đối với hai đường này bằng nhau ( bằng $r^2$)
Ta có:
Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC trực giao với các đường tròn Apollonius và

các đường tròn Apollonius có trục đẳng phương là JJ' nên O thuộc JJ'

ta có L, M, N (L, M, N lần lượt là tâm đường tròn Apollonius góc A, góc B, góc C) là cực của các đối cực đối trung của tam giác ABC đối

với đường tròn nghịch đảo (O). Điểm Lemoine K là giao điểm của 3 đường đối trung nên

đối cực của K đối với đường tròn nghịch đảo (O) qua L, M, N ( theo định lý La Hire )
Ta có cực K của đối cực LMN thuộc đường thẳng qua O và vuông góc với LMN và đường

thẳng này là trục đẳng phương OJJ'

Vậy ta đã chứng minh xong câu a)

b) Dùng tính chất (O) và (O') trực giao thì 1) (O') bất biến trong phép nghịch đảo với đường tròn nghịch đảo (O) ( vì phương tích

của O' đối với (O) bằng phương số nghịch đảo )

2) (O) bất biến trong phép nghịch đảo với đường tròn nghịch đảo (O')

Ta có (O),(L) ( (L) là A − apollonius ) trực giao và O, J, J', thẳng hàng và J, J' thuộc (L) nên J, J' là nghịch đảo nhau trong phép nghịch đảo với đường tròn nghịch đảo

Tổng hợp hình vẽ:

bấm vào để thấy rõ hơn.