Số Fermat và các tính chất

Các số tự nhiên có dạng $f_n=2^{2^n} +1$ được gọi là số Fermat

Ta có $f_0=1$

$f_1=5$

$f_2=17$

$f_3=257$

$f_4=65537$

$f_5=4294967295=641.6700417$

Như vậy ta có các tính chất sau:

i) $f_n=f_0.f_1..f_{n-1}+2$

ii) $(f_k,f_h)=1$

iii) $f_n$ tận cùng là 7 với n>1

i) ta có: $f_k=(2^{2^{k-1}})^2+1=(f_{k-1}-1)^2+1=f_{k-1}^2-2f_{k-1}+2$

Suy ra $f_n-2=f_0f_1..(f_0-2)=f_0.f_1...f_{n-1}$

ii) Suy ra từ i)

iii) Ta có $f_1=5$, các $f_n$ đều lẻ nên $f_n \equiv 5+2=7 (mod 10)$