Bài 1: Cho tam giác ABC và điểm P . Gọi P_1, P_2, P_3 là hình chiếu vuông góc của P trên BC, CA, AB
theo thứ tự. Tìm quỹ tích của P sao cho P_1P_2 = P_1P_3
Lời giải
Ta có tứ giác BP1PP3 nội tiếp trong đường tròn đường kính BP nên theo định lý sin ta có
P_1P_3 = BP sin B
Tương tự
P_1P_2 = CP sin C
\Rightarrow P_1P_2=P_1P_3 \Leftrightarrow \frac{BP}{CP}=\frac{sinC}{sinB}=\frac{AB}{AC}
Vậy quỹ tích P là đường tròn A − apollonius của tam giác ABC
Nếu AB=AC thì P thuộc trung trực BC.
Bài 2 (VMO 1999): Cho tam giác ABC nội tiếp (O). Hãy xác định vị trí của P không thuộc đường tròn để các đường PA, PB, PC cắt lại đường tròn ở A', B', C' sao cho tam giác A'B'C' là vuông cân với đáy B'C'.
Lời giải:
![]() |
Hình vẽ chỉ mang tính chất minh họa vì lời giải sử dụng góc định hướng nên không cần xét hai trường hợp P ở trong và ngoài đường tròn |
Điều kiện 1: (PB,PC)=(PB,AB)+(AB,AC)+(AC,PC)
=(BP,BA)+(CA,CP)+(AB,AC).
\Rightarrow (PB,PC)\equiv (A'B',A'A)+(A'A,A'C')+(AB,AC)\\ \equiv (A'B',A'C')+(AB,AC) \equiv \frac{\pi}{2}+(AB,AC)(mod \pi)
Nếu tam giác ABC vuông tại A thì P thuộc BC.
Nếu tam giác ABC không vuông tại A thì P nằm trên đường tròn C đi qua B, C và chắn cung \frac{\pi}{2}+(AB,AC)
Điều kiện 2: Ta có:
\triangle ABP \sim \triangle B'A'P \Rightarrow \frac{AB}{A'B'}=\frac{PB}{PA'}\\\frac{AC}{A'C'}=\frac{CP}{A'P}\\B'A'=A'C'\Rightarrow \frac{PB}{PC}=\frac{AB}{AC} (3)
Nếu AB=AC thì P thuộc trung trực BC
Nếu AB khác AC thì P thuộc đường tròn Apollonius (C_p) thỏa mãn (3)
Kết hợp những điều kiện trên suy ra được tập hợp điểm.
Bài 3: (VMO 2000): Trên mặt phẳng cho trước (O_1) tâm O_1 bán kính r_1 và (O_2) tâm O_2 bán kính r_2. Trên đường tròn (O_1) lấy một điểm M_1, trên đường tròn (O_2) lấy một điểm M_2 sao cho đường thẳng O_1M_1 cắt O_2M_2 tại một điểm Q. Cho M_1 chuyển động trên đường tròn (O_1), M_2 chuyên động trên đường tròn (O_2) cùng theo chiều kim đồng hồ và với vận tốc góc như nhau.
1) Tìm quỹ tích trung điểm đoạn thẳng M_1M_2
2) Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác M_1QM_2 luôn đi qua một điểm cố định.
Lời giải:
Do điều kiện bài toán ta sẽ dùng góc định hướng để lời giải ngắn gọn và chuẩn xác.
Câu 1 bạn đọc dùng Vecto rồi giải, ta chỉ quan tâm đến câu 2 vì có liên quan đến đường tròn Apollonius
Gọi P là giao điểm thứ 2 của (M_1QM_2) và O_1QO_2 thì:
\left ( \overrightarrow{PM_1}, \overrightarrow{PO_1} \right )=\left ( \overrightarrow{PM_1}, \overrightarrow{PM_2} \right )+\left ( \overrightarrow{PM_2}, \overrightarrow{PO_2} \right )+\left ( \overrightarrow{PO_2}, \overrightarrow{PO_1} \right )=\left ( \overrightarrow{PM_2}, \overrightarrow{PO_2} \right )\\ \left ( \overrightarrow{O_1M_1},\overrightarrow{O_1P} \right )=\left ( \overrightarrow{O_1M_1},\overrightarrow{O_2M_2} \right )+\left ( \overrightarrow{O_2M_2},\overrightarrow{O_2P} \right )+\left ( \overrightarrow{O_2P},\overrightarrow{O_1P} \right )=\left ( \overrightarrow{O_2M_2},\overrightarrow{O_2P} \right )
do đó tam giác PO_1M_1 \sim PO_2M_2. Suy ra \frac{PO_1}{PO_2}=\frac{r_1}{r_2} Do đó nếu r_1=r_2 thì P thuộc trung trực O_1O_2 còn nếu không thì P thuộc đường tròn Apollonius dựng trên đoạn O_1O_2 cố định, theo tỉ số \frac{r_1}{r_2} không đổi.
Mặt khác: \left ( \overrightarrow{PO_1}, \overrightarrow{PO_2} \right )=\left ( \overrightarrow{QO_1}, \overrightarrow{QO_2} \right )=\alpha (Không đổi)
Kết hợp những điều trên suy ra P cố định.
Nhận xét: Để ý rằng Q là tâm của phép vị tự quay biến tam giác PM_1M_2 thành tam giác PO_1O_2
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét