Đường kính Brocard và tam giác đều " thủy túc "

Bài toán 1: Cho tam giác ABC nội tiếp (O), và K là điểm Lemoine  có J, J' là hai điểm đẳng động . Nếu OK cắt (O) tại Q và R thì (QRJJ')=-1

Chứng minh:

Ta đã chứng minh O,K, J, J' thẳng hàng và do J và J' nghịch đảo nhau đối với (O) nên (QRJJ')=-1

QR được gọi là đường kính Brocard của tam giác ABC

Bài toán 2:

Chứng minh rằng có đúng hai điểm đối với một tam giác sao cho chân đường vuông góc hạ

từ chúng đến ba cạnh của tam giác tạo thành một tam giác đều

Chứng minh:

Theo bài toán 1 điểm có hình chiếu lên 3 cạnh tam giác tạo thành 1 tam giác cân nằm

trên một đường tròn apollonius.
Để có tam gíac đều thì điểm đó phải nằm trên 3 đường tròn apollonius của tam giác tức

là hai điểm đẳng động J, J'

của tam giác

Chú ý : Tam giác đều tạo bởi 3 hình chiếu của điểm J lên ba cạnh của tam giác thường

gọi là tam giác đều " thủy túc " của điểm J

Bài toán 3: Trong tất cả các tam giác đều có đỉnh nằm trên ba cạnh của một tam giác thì tam giác đều

thủy túc của điểm đẳng động thứ nhất J của tam giác có diện tích nhỏ nhất.

Chứng minh:

Nhắc lại định lý Miquel :

Cho tam giác ABC và ba điểm L, M, N nằm trên BC, CA, AB. Khi đó ba đường tròn

(AMN),(BLN),(CLM) đồng quy

Gọi các điểm như trong hình vẽ
Ta có:

$\widehat{JLM}=\widehat{JCM}=\widehat{JL'M} \\ \widehat{JLN}=\widehat{JBN}=\widehat{JL'N'}$

Cộng lại ta được:

$\widehat{MLN}=\widehat{M'L'N'}=60^o$

Phép đồng dạng ( vị tự quay) tâm J với tỷ số $r=\frac{JL'}{JL} \le 1, \alpha=\widehat{LJL'}$

biến tam giác

LMN thành tam giác L'M'N'. Theo bài toán 3 suy ra J là điểm đẳng động thứ nhất.