Giới hạn dãy số

Bài 1:Cho dãy $a_n$ thỏa mãn: $0<a_n<2000.30^{4^n}$, $x_n=\sqrt[4]{a_1+\sqrt[4]{a_2+\sqrt[4]{..+\sqrt[4]{a_n}}}}$. Chứng minh $x_n$ hội tụ.

Giải:

Gọi $y_n$ là dãy thỏa mãn: $y_n=7.30^{4^{n-1}}$$\Rightarrow y_n^4> y_n+a_n$

$x_n=\sqrt[4]{a_1+\sqrt[4]{a_2+\sqrt[4]{..+\sqrt[4]{a_n}}}}<\sqrt[4]{a_1+\sqrt[4]{a_2+\sqrt[4]{..+\sqrt[4]{a_n+y_n}}}}<\sqrt[4]{a_1+\sqrt[4]{a_2+\sqrt[4]{..+\sqrt[4]{a_{n-1}+y_{n-1}}}}}$

$<..<\sqrt[4]{a_1+y_1}$

Vậy $x_n$ bị chặn và tăng nên hội tụ