Bài 1: Cho tam giác ABC và một điểm P. Dựng các đường tròn P − apollonius của các tam giác
APB, APC.BPC . Chứng minh rằng ba đường tròn này còn có một điểm chung P' khác P
Gợi ý: Gọi (N),(M),(L) là đường tròn P − apollonius của các tam giác APB, APC.BPC
Chú ý rằng BL là đường đối trung ngoài của tam giác BPC, lập tỉ số rồi sử dụng định lý Menelaus.
Bài 2: Cho A, B, C nằm trên đường tròn (K) sao cho tam giác ABC là tam giác nhọn và P là
điểm bên trong (K). Gọi X,Y, Z là giao điểm thứ hai của AP, BP, CP với (K). Xác định vị trí
của điểm P sao cho ∆XYZ đều
Gợi ý: Gọi F là điểm liên hợp đẳng giác với P của tam giác ABC thì ta có \angle APC+ \angle AFC =180^o + \angle B và biến đổi góc được \angle APC= 60^o + \angle B.
Vậy F là điểm Fermat . P liên hợp đẳng giác với F chỉ có thể là điểm đẳng động J của tam giác ABC
Bài 3: Cho D là một điểm bên trong tam giác nhọn ABC sao cho AB = a.b, AC = a.c, AD =
a.d, BC = b.c, BD = b.d và CD = c.d. Chứng minh \angle ABD+ \angle ACD= 60^o
Gợi ý:- D là điểm chung của 3 đường tròn apollonius của ∆ABC và chính là điểm đẳng động
thứ nhất của ∆ABC.
-Gọi tam giác đều thủy túc của điểm đẳng động D của ∆ABC.
Bài 4: Chứng minh đường tròn A − apollonius tạo với các đường tròn B − apollonius, C − apollonius
của ∆ABC một góc 120^o
Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A và H là chân đường cao vẽ từ A. Chứng minh các đường tròn
H − apollonius của các tam giác ∆AHB, ∆AHC giao nhau tại tâm đường tròn A − apollonius
của tam giác ABC
Bài 6: Cho tam giác ABC và phân giác trong BD, D ∈ AC. Đường thẳng BD cắt đường tròn (C)
ngoại tiếp ∆ABC tại điểm thứ hai là E. Đường tròn (ω) với đường kính DE cắt lại (C) tại F.
Chứng minh BF là đường đối trung của tam giác ABC
Bài 7: Cho tam giác đều XYZ nội tiếp trong đường tròn (O) và điểm P tùy ý trong tam giác
XYZ và không nằm trên các cạnh, PX, PY, PZ cắt (O) tại A, B, C theo thứ tự. Gọi D, E, F theo
thứ tự là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác PBC, PCA, PAB. Chứng minh AD, BE, CF
đồng quy.
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét