Dùng công thức nội suy Lagrange để tính tổng bằng hai cách

Chứng minh rằng:

Với mọi p, n, k nguyên dương thỏa mãn $p\le n-1$ thì  $\sum_{k=0}^{n}(-1)^{n-k}.C_k^n.k^p=0$
Chứng minh rằng với mọi n, k nguyên dương, n>k, ta có:
$\\\sum_{k=0}^{n}(-1)^{n-k}.C_k^n.k^n=n!\\\sum_{k=0}^{n}(-1)^{n-k}.C_k^n.k^{n+1}=\frac{n(n+1)!}{2}$

* Chứng minh 1, 2.

Xét đa thức $f(x)=\sum_{k=0}^{n}a_kx^{n-k}$ Áp dụng công thức nội suy Lagrange cho n+1 mốc nội suy $x_k=A+kh$ ( k=0,..n) ta được:
$f(x)=\sum_{k=0}^{n}(f(A+kh).\prod_{j=0,j\ne k}^{n}\frac{x-A-jh}{(k-j)h})$

Đồng nhất hệ số $x^n$

$a_0=\sum_{k=0}^{n}f(A+kh).\frac{1}{\prod_{j=0,j\ne k}^{n}(k-j)h}=\frac{1}{n!h^n}.\sum_{k=0}^{n}(-1)^{n-k}C^k_n.f(A+kh)$

Từ đó chọn $A=0, h=1 f(x)=x^p (p \le n-1), f(x)=x^n$ ta có điều phải chứng minh.

Để chứng minh công thức tiếp theo ta xét:

$f(x)=x^n-(x-1)(x-2)..(x-n)$ Áp dụng công thức nội suy Lagrange với n mốc nội suy $x_k=k$ và so sánh hệ số của x^{n-1} ta được:

$\sum_{k=0}^{n}(-1)^{n-k}.C_k^n.k^{n+1}=\frac{n(n+1)!}{2}$