Trong bài viết này, tác giả giới thiệu một số bài BĐT nhẹ nhàng nhưng ý tưởng tương đối mới, mức độ phù hợp với đề thi tuyển sinh vào lớp 10 Chuyên.
Bài 1. Cho các
số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn
${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=3$
và $\min \{a+b,b+c,c+a\}>\sqrt{2}$.
a) Chứng minh rằng $a,b,c$ là độ
dài ba cạnh của một tam giác.
b) Biết rằng diện tích $S$ của
tam giác nói trên có thể tính theo công thức
$16{{S}^{2}}=2({{a}^{2}}{{b}^{2}}+{{b}^{2}}{{c}^{2}}+{{c}^{2}}{{a}^{2}})-({{a}^{4}}+{{b}^{4}}+{{c}^{4}}).$
Tìm giá trị lớn nhất của $S.$
Lời giải.
a) Đặt $c$ là số lớn nhất trong các số $a,b,c$. Để chứng
minh $a,b,c$ là các cạnh của tam giác, ta chỉ cần làm rõ $c<a+b.$
Theo đề bài thì $a+b>\sqrt{2}$ nên ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ge
\frac{1}{2}{{(a+b)}^{2}}>1$, suy ra ${{c}^{2}}<2$ hay $c<\sqrt{2}$.
Do đó, $a+b>c$ hay $a,b,c$ là ba cạnh của tam giác.
b) Theo công thức đã cho thì
$16{{S}^{2}}={{({{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}})}^{2}}-2({{a}^{4}}+{{b}^{4}}+{{c}^{4}})\le
\frac{1}{3}{{({{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}})}^{2}}=3.$
Vậy giá trị lớn nhất của $S$ là $\frac{\sqrt{3}}{4}$, đạt được khi $a=b=c=1.$
Bài 2. Cho $a,b,c$ là các số thực dương
có tổng bằng $1.$ Chứng minh rằng
\[\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}+6\ge
\sqrt{\frac{8}{a}-8}+\sqrt{\frac{8}{b}-8}+\sqrt{\frac{8}{c}-8}.\]
Lời
giải.
Ghép cặp và dùng BĐT Cô-si cho hai số:
$\frac{a}{b}+\frac{c}{b}+2=\frac{a+c}{b}+2\ge
2\sqrt{\frac{2(a+c)}{b}}=2\sqrt{\frac{2(1-b)}{b}}=\sqrt{\frac{8}{b}-8}$.
Bài 3. Cho $x,y,z$ là các số thực dương
thỏa mãn điều kiện $x+y+z=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$. Chứng minh
rằng \[\sqrt{2}(x+y+z)\ge \sqrt{xy+1}+\sqrt{yz+1}+\sqrt{zx+1}.\]
Lời
giải.
Theo BĐT Cô-si thì \[(x+\frac{1}{y})+2y\ge
2\sqrt{2y\left( x+\frac{1}{y} \right)}=2\sqrt{2}\cdot \sqrt{xy+1},\] suy ra
$x+2y+\frac{1}{y}\ge
2\sqrt{2}\cdot \sqrt{xy+1}$.
Thực hiện tương tự và cộng lại, ta có
$3x+3y+3z+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge
2\sqrt{2}\left( \sqrt{xy+1}+\sqrt{yz+1}+\sqrt{zx+1} \right)$.
Chú ý rằng $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=x+y+z$
nên vế trái chính là $4(x+y+z).$
Bài 4. Cho $a,b,c$ là các số thực dương
thỏa mãn $abc=1.$ Chứng minh rằng
${{\left(
a+\frac{1}{b} \right)}^{2}}+{{\left( b+\frac{1}{c} \right)}^{2}}+{{\left(
c+\frac{1}{a} \right)}^{2}}\ge 3(a+b+c+1).$
Lời
giải.
Theo BĐT quen thuộc ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}\ge
xy+yz+zx$, ta có
$ VT \ge ( a+\frac{1}{b}) ( b+\frac{1}{c}) + ( b+\frac{1}{c}) (
c+\frac{1}{a}) + ( c+\frac{1}{a} ) ( a+\frac{1}{b}) $
\[=ab+bc+ca+\frac{a}{c}+\frac{c}{b}+\frac{b}{a}+3+a+b+c \]
Ta lại có $ab+\frac{b}{a}\ge 2b$ nên áp dụng
tương tự và cộng lại thì
$ab+bc+ca+\frac{b}{a}+\frac{a}{c}+\frac{c}{b}\ge
2(a+b+c).$
Thay vào, ta có đpcm.
Bài 5. Cho $a,b,c$ là các số thực dương
thỏa mãn ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=2(xy+yz+zx).$
Tìm giá
trị nhỏ nhất của biểu thức $P=x+y+z+\frac{1}{2xyz}$.
Lời
giải.
Đẳng thức đã cho viết lại thành ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2xy-2yz+2yz=4yz$
hay
${{(y+z-x)}^{2}}=4yz$.
Không mất tính tổng quát, có thể giả sử $x$
là số nhỏ nhất, khi đó $y+z-x>0.$ Ta có
$P=(y+z-x)+2x+\frac{2}{x{{(y+z-x)}^{2}}}$.
Chú ý rằng $2x+\frac{2}{x{{(y+z-x)}^{2}}}\ge
\frac{4}{y+z-x}$ nên
$P\ge
y+z-x+\frac{4}{y+z-x}\ge 4$.
Giá trị nhỏ nhất là $4$, đẳng thức xảy ra
khi $y=2,x=z=\frac{1}{2}.$
Bài 6. Cho $a,b,c$ là các số thực dương
thỏa mãn $a\ge 1\ge b.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của
\[P=(a+b+c-1)\left(
\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-1 \right).\]
Lời
giải.
Theo đề bài thì $a\ge 1\ge b$ nên $(a-1)(b-1)\le
0$ hay $a+b\ge 1+ab\Leftrightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge 1+\frac{1}{ab}$.
Do đó $a+b+c-1\ge 1+ab+c-1=ab+c$ và $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-1\ge
\frac{1}{ab}+\frac{1}{c}$. Suy ra
$P\ge
(ab+c)\left( \frac{1}{ab}+\frac{1}{c} \right)=2+\frac{ab}{c}+\frac{c}{ab}\ge
2+2\sqrt{\frac{abc}{abc}}=4.$
Do đó, giá trị
nhỏ nhất cần tìm là $4$, đạt được khi $a=b=c=1.$
Ủng hộ web
Trả lờiXóa