Chứng minh sự hội tụ của dãy số

Bài toán: Cho dãy số $(u_n)$ xác định như sau: $u_1=1, u_2=2, u_n=u_{n-1}+u_{n-2}$ (n=3,4..)

Chứng minh dã số $(x_n)$ xác định bởi $x_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{u_{k}}$ hội tụ.


Ta thấy rằng $(u_n)$ càng lớn nếu n càng lớn nên tổng $x_n$ một lúc nào đó sẽ không thay đổi với $k \ge n_o$.

Tuy vậy ta có cách giải khác:

Ta chứng minh rằng $u_n \ge (\sqrt{2})^{n-1})$

với n=1, 2 thì $u_1=1, u_2=2$ đúng.

Giả sử đúng với $n=k$ khi n=k+1 thì:

$u_{k+1}=u_k+u_{k-1} \ge \sqrt{2}^{k-1}(\sqrt{2}+1) >\sqrt{2}^{k+1}$

$\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{u_k}\le\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{(\sqrt{2})^{k-1}}$

Đến đây dùng công thức cấp số nhân để tính tổng và $(u_n)$ tăng ta có dpcm