Từ một bổ đề cho đến bài thi ELMO 2016

Ta có bổ đề sau:

Bổ đề . $\triangle ABC$, $M$, $N$ thuộc $BC$ thì $(AMN)$ tiếp xúc $(ABC)$ khi và chỉ khi $AM$, $AN$ đẳng giác với góc $A$.

Chứng minh bổ đề: $O$, $I$ là tâm của $(ABC)$ và $(AMN)$, $AH$ là đường cao của $\triangle ABC$ thì đương nhiên $AH$ cũng là đường cao của $\triangle AMN$. $AH$, $AO$ đẳng giác với $\angle (AB,AC)$; $AH$, $AI$ đẳng giác với $\angle (AM,AN)$ nên $(A,O,I)$ thẳng hàng khi và chỉ khi $\angle(AB,AC)$ và $\angle (AM,AN)$ có chung phân giác - tức là $AM$, $AN$ đẳng giác.

Đề bài. Trong $\triangle ABC$ với $AB \neq AC$, cho đường tròn nội tiếp của nó tiếp xúc với $BC, CA$ và $AB$ tại $D, E$ và $F$, theo đúng thứ tự. Phân giác trong của $\angle BAC$ cắt đường $DE$ và $DF$ tại $X$ và $Y$, theo thứ tự. Gọi $S, T$ là các điểm khác nhau trên cạnh $BC$ sao cho $\angle XSY = \angle XTY = 90^{\circ}$. Cuối cùng, gọi $\gamma$ là đường tròn ngoại tiếp $\triangle AST$.
Chứng minh rằng $\gamma$ tiếp xúc với $\odot (ABC)$
Chứng minh rằng $\gamma$ và đường tròn nội tiếp của $\triangle ABC$ tiếp xúc nhau.

Lời giải:

câu a)

Để ý $D(BA,EF)=-1\implies D(ZA,YX)=-1$ mà $\angle YSX=\angle YTX=90^\circ\implies SX,TX$ lần lượt là phân giác $\angle ZTA,\angle ZSA\implies AI$ là phân giác $\angle SAT\implies AS,AT$ đẳng giác trong $A\implies \gamma $tiếp xúc $(O)$.


Câu b) Do $DE$ đi qua tâm nội tiếp tam giác $AST,(I)$ tiếp xúc với $AC,TC$ tại $E,D$ nên theo bổ đề Sayawama thì $(I)$ tiếp xúc $\gamma$

Dùng hàng điểm để chứng minh thẳng hàng.

Bài toán: Cho tam giác ABC nhọn tâm đường tròn ngoại tiếp O, trực tâm H, đường cao AD. AO cắt
BC tại E. đường thẳng qua D song song OH lần lượt cắt AB,AC tại M,N. I là trung iểm
AE. DI lần lượt cắt AB,AC tại P,Q. MQ cắt NP tại T. Chứng minh rằng D,O, T thẳng
hàng.

Trần Quang Hùng

Đ ại học Khoa học Tự nhiên, Đ HQGHN

Lời giải:

Gọi F là trung điểm BC.

Theo một số kết quả cơ bản ta có $\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{OF}$ Suy ra AE song song GF suy ra DI đi qua trung điểm J của GF, mà ta lại có CHOF là hình bình hình hành nên DI đi qua trung điểm HO.

DO cắt AB, AC tại K, L.

Ta có $D(HOJN) = (HOJ) = −1.$ (DN song song HO)

$(AKMP) = D(AKMP) = D(ALNQ) = (ALNQ) = D(HOJN) = −1$

Khi (AKMP) = −1 ta cũng có (AKPM) = −1. Vậy từ hai đ ẳng thức trên ta có (AKPM) =
(ALNQ) hay KL, PN,MQ đồng quy tại T, nói cách khác D,O, T thẳng hàng. Ta có điều
phải chứng minh.