Đường kính Brocard và tam giác đều " thủy túc "

Bài toán 1: Cho tam giác ABC nội tiếp (O), và K là điểm Lemoine  có J, J' là hai điểm đẳng động . Nếu OK cắt (O) tại Q và R thì (QRJJ')=-1

Chứng minh:

Ta đã chứng minh O,K, J, J' thẳng hàng và do J và J' nghịch đảo nhau đối với (O) nên (QRJJ')=-1

QR được gọi là đường kính Brocard của tam giác ABC

Bài toán 2:

Chứng minh rằng có đúng hai điểm đối với một tam giác sao cho chân đường vuông góc hạ

từ chúng đến ba cạnh của tam giác tạo thành một tam giác đều

Chứng minh:

Theo bài toán 1 điểm có hình chiếu lên 3 cạnh tam giác tạo thành 1 tam giác cân nằm

trên một đường tròn apollonius.
Để có tam gíac đều thì điểm đó phải nằm trên 3 đường tròn apollonius của tam giác tức

là hai điểm đẳng động J, J'

của tam giác

Chú ý : Tam giác đều tạo bởi 3 hình chiếu của điểm J lên ba cạnh của tam giác thường

gọi là tam giác đều " thủy túc " của điểm J

Bài toán 3: Trong tất cả các tam giác đều có đỉnh nằm trên ba cạnh của một tam giác thì tam giác đều

thủy túc của điểm đẳng động thứ nhất J của tam giác có diện tích nhỏ nhất.

Chứng minh:

Nhắc lại định lý Miquel :

Cho tam giác ABC và ba điểm L, M, N nằm trên BC, CA, AB. Khi đó ba đường tròn

(AMN),(BLN),(CLM) đồng quy

Gọi các điểm như trong hình vẽ
Ta có:

$\widehat{JLM}=\widehat{JCM}=\widehat{JL'M} \\ \widehat{JLN}=\widehat{JBN}=\widehat{JL'N'} $

Cộng lại ta được:

$\widehat{MLN}=\widehat{M'L'N'}=60^o$

Phép đồng dạng ( vị tự quay) tâm J với tỷ số $r=\frac{JL'}{JL} \le 1, \alpha=\widehat{LJL'}$

biến tam giác

LMN thành tam giác L'M'N'. Theo bài toán 3 suy ra J là điểm đẳng động thứ nhất.

Điểm đẳng động

Ta tiếp theo chuỗi bài tập về đường tròn Apollonius 
Bài 3: Ba đường tròn Apollonius của một tam giác có hai điểm chung. Ta gọi hai điểm chung này là hai điểm đẳng động (Isodynamic Point)
Lời giải
Giả sử J thuộc đường tròn Apollonius ứng với điểm A, và B của tam giác ABC thì ta có:

$\frac{JB}{JC}=\frac{AB}{AC},\frac{JC}{JA}=\frac{BC}{BA} \\ \Rightarrow \frac{JB}{JA}=\frac{CB}{CA}$ Vậy J thuộc đường tròn Apllonius ứng với điểm C

Tương tự J' ở ngoài (O).

Bài 4: Tâm của ba đường tròn này thẳng hàng.

Suy ra từ bài toán 3 nên ba đường tròn đồng trục.

Bài 5: Cho O và K là tâm đường tròn ngoại tiếp và điểm Lemoine của tam giác ABC, J, J' là hai điểm đẳng động . Chứng minh :
a) J, J', K, O thẳng hàng.
b) J' là nghịch đảo của J đối với đường tròn nghịch đảo (O)

Lời giải:
a)
Ta cần bổ đề sau:

Bổ đề 1: Nếu đường tròn (O,r) trực giao với hai đường tròn (A, p),(B, q) thì O thuộc trục đẳng phương của (A, p).(B.q).

Chỉ cần chứng minh phương tích điểm O đối với hai đường này bằng nhau ( bằng $r^2$)
Ta có:
Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC trực giao với các đường tròn Apollonius và

các đường tròn Apollonius có trục đẳng phương là JJ' nên O thuộc JJ'

ta có L, M, N (L, M, N lần lượt là tâm đường tròn Apollonius góc A, góc B, góc C) là cực của các đối cực đối trung của tam giác ABC đối

với đường tròn nghịch đảo (O). Điểm Lemoine K là giao điểm của 3 đường đối trung nên

đối cực của K đối với đường tròn nghịch đảo (O) qua L, M, N ( theo định lý La Hire )
Ta có cực K của đối cực LMN thuộc đường thẳng qua O và vuông góc với LMN và đường

thẳng này là trục đẳng phương OJJ'

Vậy ta đã chứng minh xong câu a)

b) Dùng tính chất (O) và (O') trực giao thì 1) (O') bất biến trong phép nghịch đảo với đường tròn nghịch đảo (O) ( vì phương tích

của O' đối với (O) bằng phương số nghịch đảo )

2) (O) bất biến trong phép nghịch đảo với đường tròn nghịch đảo (O')

Ta có (O),(L) ( (L) là A − apollonius ) trực giao và O, J, J', thẳng hàng và J, J' thuộc (L) nên J, J' là nghịch đảo nhau trong phép nghịch đảo với đường tròn nghịch đảo

Tổng hợp hình vẽ:

bấm vào để thấy rõ hơn.

Tính chất của điểm Lemoine

Đề bài: Cho tam giác ABC, đường cao AH. Chứng minh rằng điểm Lemoine, trung điểm AH, trung điểm BC thẳng hàng.

Lời giải

Gọi L là điểm Lemoine của tam giác ABC.

Cách 2: