Dùng lượng giác để tính toán các góc trong tam giác

Bài toán (Canada 1998): Tam giác ABC có $\angle CAB=40^o, \angle ABC=60^o$. Lấy $D \in AC, E \in AB$ sao cho $\angle CBD=40^o$ $\angle BCE=70^o$. Gọi F là giao điểm của BD và CE. Chứng minh rằng AF vuông góc BC.

Giải:

Đặt $x=m(\widehat {BAF})$. nên $m(\widehat {CAF})=40^{\circ}-x$, $m(\widehat {BCF})=70^{\circ}$, $m(\widehat {ACF})=10^{\circ}$, $m(\widehat {ABF})=20$, $m(\widehat {CBF})=40^{\circ}$. Áp dụng định lý Ceva-sin cho tam giác ABC có BD,CE,AF đồng quy tại F:
$\sin x\sin 40^{\circ}\sin 10^{\circ}=\sin (40^{\circ}-x)\sin 20^{\circ}\sin 70^{\circ}\Longleftrightarrow$
$2\sin x\sin 10^{\circ}=\sin (40^{\circ}-x)\Longleftrightarrow$
$\cos (x-10^{\circ})-\cos (x+10^{\circ})=\cos (50^{\circ}+x)\Longleftrightarrow$
$\cos (x+10^{\circ})= \cos (x-10^{\circ})-\cos (50^{\circ}+x)\Longleftrightarrow$
$\cos (x+10^{\circ})=2\sin (x+20^{\circ})\sin 30^{\circ}\Longleftrightarrow$
$\cos (x+10^{\circ})=\cos (70^{\circ}-x)\Longleftrightarrow x=30^{\circ}\Longleftrightarrow AF\perp BC\ .$

Định lý Dergiades

Định lý Dergiades: Cho tam giác ABC. 3 đường tròn ωa, ωb, ωc lần lượt đi qua các cặp đỉnh B, C; C, A; A, B. Gọi D, E, F là giao điểm thứ hai của 3 đường tròn này. Đường thẳng Qua D vuông góc với AD cắt BC tại X. Tương tự xác định Y, Z. Khi đó X, Y, Z thẳng hàng.

Chứng minh:

Đặt ∠BEC = ∠BF C = α, ∠ADC = ∠AF C = β, ∠AEB = ∠ADB = γ, bán kính của ωa, ωb, ωc lần lượt tại Ra, Rb, Rc.

Ta có XB/XC = (BD · sin ∠XDB)/( CD · sin ∠XDC) = [BD · (− cos ∠ADB)]/[ CD · (− cos ∠ADC) ]= (BD · cos γ)/( CD · cos β . )

Chứng minh tương tự suy ra XB /XC · Y C/ Y A · ZA /ZB = BD/ CD · CE /AE · AF/ BF

Ta lại có BD/ CD = 2Rc sin ∠BAD /2Rb sin ∠CAD . Tương tự và áp dụng định lý Céva sin cho tam giác ABC với các đường AD, BE, CF đồng quy tại tâm đẳng phương của ωa, ωb, ωc ta thu được
BD /CD · CE /AE · AF/ BF = 1. Vậy X, Y, Z thẳng hàng

Dùng định lý Ceva-sin để chứng minh bài toán

Đề bài:   (Luiz Gonzalez) $\triangle ABC$, $P$. $PA$, $PB$, $PC$ cắt $BC,CA,AB$ tại $D,E,F$. Chứng minh trục đẳng phương của 3 cặp đường tròn sau đồng quy: $(ABE)$ và $(ACF)$, $(BCF)$ và $(BAD)$, $(CAD)$ và $(CBE)$

Lời giải:



Gọi $X,Y,Z$ lần lượt là giao điểm thứ hai của $(ABE)$ và $(ACF),(BCF)$ và $(BAD),(CAD)$ và $(CBE)$






Hình vẽ bài toán

Ta có: $\frac{\sin \measuredangle XAB}{\sin \measuredangle XAC}=\frac{BX}{EX}$

Mặt khác $\triangle FXB\sim \triangle CXE$ nên $\frac {BX}{EX}=\frac{BF}{EC}\Longrightarrow \frac{\sin \measuredangle XAB}{\sin \measuredangle XAC}=\frac{BF}{EC}$. Tương tự với các cặp đường tròn còn lại



Theo định lí $Ceva$ dạng hình học thì $\frac{FA}{FB}.\frac{DB}{DC}.\frac{EC}{EA}$ nên theo định lí $Ceva$ dạng lượng giác thì $AX,BY,CZ$ đồng quy. $\blacksquare$