Số Fermat và các tính chất

Các số tự nhiên có dạng $f_n=2^{2^n} +1$ được gọi là số Fermat

Ta có $f_0=1$

$f_1=5$

$f_2=17$

$f_3=257$

$f_4=65537$

$f_5=4294967295=641.6700417$

Như vậy ta có các tính chất sau:

i) $f_n=f_0.f_1..f_{n-1}+2$

ii) $(f_k,f_h)=1$

iii) $f_n$ tận cùng là 7 với n>1

i) ta có: $f_k=(2^{2^{k-1}})^2+1=(f_{k-1}-1)^2+1=f_{k-1}^2-2f_{k-1}+2$

Suy ra $f_n-2=f_0f_1..(f_0-2)=f_0.f_1...f_{n-1}$

ii) Suy ra từ i)

iii) Ta có $f_1=5$, các $f_n$ đều lẻ nên $f_n \equiv 5+2=7 (mod 10)$

Dùng dãy số để giải phương trình hàm

(PTNK 2014) Tìm tất cả các hàm số f: N* --> N* thỏa mãn hệ thức $ f(f(n)/n) = n^2 $ với mọi n nguyên dương. N* ký hiệu tập hợp các số nguyên dương.

Giải:

Đặt $f(n)=ng(n)$ thì $g: N^*-> N^*$.
Khi đó $f(\frac{f(n)}{n})=n^2 \Leftrightarrow  g(n)g(g(n))=n^2$.
Lấy logarit hai vế ta có: $ ln{g(n)}+ln{g(g(n))}=2ln{n}$.
Đến đây ta xét dãy sau:
$u_0=ln{x};x\in N^*$ và $u_n=ln{g_n(x)}$ trong đó $g_n(x)=g(...g(n)...)$ với n lần lấy hàm g.
Ta có: $u_n\geqslant0$ và $u_{n+2}+u_{n+1}-2u_n=0$.
Công thức tổng quát: $u_n=\frac{2ln{x}+ln{g(x)}}{3}+\frac{ln{x}-ln{g(x)}}{3}(-2)^n$.
Nếu tồn tại $x$ sao cho $ln{x}-ln{g(x)}<0$ thì $u_{2n}<0$ với n đủ lớn (mt)
Nếu tồn tại $x$ sao cho $ln{x}-ln{g(x)}>0$ thì $u_{2n+1}<0$ với n đủ lớn (mt).
Vậy $ln{g(x)}=ln{x}$ với mọi $x \in N^*$. Suy ra $f(n)=n^2$

Câu dãy số số học trong IMO và phương pháp suy luận

Đề bài: (IMO 18th) Cho dãy $(u_n)$ xác định như sau: $u_o=2$, $u_1=\frac{5}{2}$ và

$u_{n+1}=u_n(u_{n-1}^2-2)-u_1$

Chứng minh rằng $[u_n]=2^{\frac{2^n-(-1)^n}{3}}$

Lời giải:

Do đề bài yêu cầu chứng minh $[u_n]=2^{\frac{2^n-(-1)^n}{3}}$

Nên ta sẽ cố gắng biểu diễn $u_n$ dưới dang $2^x+a$

Bắt đầu với $u_1$

$u_1=\frac{5}{2}=2+\frac{1}{2}$

$u_2=(2+\frac{1}{2})(2^2-2)-(2+\frac{1}{2})=2+\frac{1}{2}$

$u_3=(2+\frac{1}{2})[(2+\frac{1}{2})^2-2]-(2+\frac{1}{2})$

Ta có thể đoán trước được $u_3=2^3+a (a<1)$ do thay 3 vào điều kiện đề bài

Nên ta tìm cách lấy số $2^3$ ra khỏi $u_3$, ta được:

$u_3=2^3+\frac{1}{2^3}$

Tương tự $u_4=2^5+\frac{1}{2^5}$

Bây giờ ta sẽ chứng minh: $u_n=2^{a_n}+\frac{1}{2^{a_n}}$

Do bài toán cần chứng minh $[u_n]=2^{\frac{2^n-(-1)^n}{3}}$  ta sẽ chứng minh:

Với $a_n=\frac{2^n-(-1)^n}{3}$ đây là công thức tổng quát của $a_n$ tuyến tính bậc 2 nên ta viết lại $a_{n+1}=a_n+2a_{n-1}$

Dễ thấy mệnh đề đúng với n=1,2,3,4,5.

Với n+1 thì:

$u_{n+1}=(2^{a_n}+2^{-a_{n}})(2^{a_{n-1}}+2^{-a_{n-1}-2}-(2+\frac{1}{2})$

Nhân ra ta được:

$u_{n+1}=2^{a_n+2a_{n-1}}+2^{-a_{n}-2a_{n-1}}+2^{2a_{n-1}-a_n}+2^{a_n-2a_{n-1}}-2-2^{-1}$

Mặt khác  Do: $a_{n+1}=a_n+2a_{n-1} \Rightarrow 2a_{n-1}-a_n=(-1)^n$

Thay vào ta có đpcm.

Bất đẳng thức Bonse

Cho $p_1=2, p_2=3,..$ là dãy tăng các số nguyên tố. Chứng minh rằng:

$p_1p_2..p_n >p_{n+1}^2$

Giải.

Đặt $A_k=p_1p_2...p_k$ và $a_k=k.p_1p_2..p_{n-1}-p_n$ với $1 \le k \le p_n -1$. Ta thấy rằng $a_k$ không chia hết cho $p_i$ (với i=1,..n) suy ra $a_k \ge p_{n+k}$ (Do là dãy tăng). Chọn k=$p_n-1$ ta được $a_k=A_n-A_{n-1}-p_n>p_{p_n+n-1}>p_{3n-1}$ ( có thể chứng minh $p_n \ge 2n$ bằng quy nạp). Từ đây ta nhận thấy với $n \ge 6$ thì

$p_1..p_n>(p_1..p_{[n/2]})^2>p_{3[n/2]-1}^2>p_{n+1}^2$