Bài toán về "số chính phương tự do"

Ta định nghĩa: số nguyên dương n là "số chính phương tự do" - "square-free" khi n không có dạng $n=mp^2$ với m là số nguyên dương nào đó, $p$ là số nguyên tố.

Bài toán: (India MO 1995). Gọi n là số nguyên không âm sao cho n là ước của tổng:

$1+\sum_{i=1}^{n-1}i^{n-1}$.

Chứng minh rằng: n là một số chính phương tự do.

Lời giải:

Giả sử $n=mp^2$ khi đó:

$1+\sum_{i=1}^{n-1}i^{n-1}=1+\sum_{j=0}^{p-1}\sum_{k=0}^{mp-1}(kp+j)^{n-1}\equiv1+mp(\sum_{j=0}^{p-1}j^{n-1})\equiv1(mod p)$

Suy ra tổng đó không chia hết cho $p$, mâu thuẫn với đề bài. Vậy ta có đpcm