$|\alpha -\frac{p}{q}| <\frac{1}{q^2}$
Lời giải:
Trước hết ta chứng minh với mọi $ N \ge q$ luôn tồn tại p,q thỏa mãn:
$|\alpha -\frac{p}{q}| <\frac{1}{qN}$
Thật vậy ta chia các [0;1) thành các khoảng $[\frac{k-1}{N};\frac{k}{N})(k =\overline{1,N})$
Thì theo nguyên lý Dirichle sẽ tồn tại hai số { $\alpha q_i$ } và { $\alpha q_j$ } thuộc vào một đoạn ( q= 0,1,..N)
$\Rightarrow \left | \begin{Bmatrix}
\alpha q_i
\end{Bmatrix}- \begin{Bmatrix}
\alpha q_j
\end{Bmatrix} \right |<\frac{1}{N(q_i-q_j)}\\\Rightarrow \left | \alpha -\frac{\begin{bmatrix}
\alpha q_i
\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}
\alpha q_j
\end{bmatrix}}{q_i-q_j} \right | <\frac{1}{N(q_i-q_j)}$ Điều phải chứng minh.
Ta giả sử chỉ có hữu hạn các số p,q thỏa mãn đề bài Kí hiệu tập này là X.
Khi đó sẽ tồn tại M sao cho $|\alpha -\frac{p}{q}| >M$
Chọn N sao cho $\frac{1}{M}<N$ Khi đó tồn tại các số nguyên dương $p_i, q_i$ sao cho
$|\alpha -\frac{p_i}{q_i}| <\frac{1}{q_iN} <\frac{1}{q_iN}<\frac{1}{q_i^2}$
Suy ra $p_i,q_i$ thuộc X, nhưng $M >\frac{1}{q_iN} $ (mâu thuẫn)
Vậy ta có điều phải chứng minh.
