Dùng tam thức bậc 2 để chứng minh bất đẳng thức

(Quảng Trị 2014) Chứng minh bất đẳng thức sau $3(x^2-x+1)(y^2-y+1) \ge 2(x^2y^2-xy+1)$ với mọi x, y thực.

Lời giải:

Có

$P = 3  (x^2-x+1 ) ( y^2-y+1) - 2( x^2y^2 - xy+1)=( y^2-3y+3 ) x^2 + ( 5y-3y^2-3 ) x + 3y^2-3y+1$

Có $ \displaystyle y^2 -3y+3 > 0 $ và

$$ \Delta = -3 \left( y^2- 3y+1 \right)^2 \le 0 $$

Nên

$$ P \ge 0 $$

Đó là điều cần chứng minh .

Phương pháp tuyến tuyến với đề thi Nga 1990

Đề: Cho $x, y>0$ và $x^2+y^3 \ge x^3+y^4$. Chứng minh rằng $x^3+y^3 \ge 2$

Lời giải:

Từ giả thiết $(x^3-x^2)+(y^4-y^3) \ge 0$

Ta sẽ tìm k sao cho $x^3-1 \le k(x^3-x^2), y^3-1 \le k(y^4-y^3)$

Dấu bằng xảy ra khi $x=y=1$ nên số k thích hợp là số sao cho các đường cong:

$f(t)=t^3-1, g(t)=k(t^3-t^2), h(t)=k(t^4-t^3)$ tiếp xúc nhau tại điểm t=1

Do g(t) và h(t) tiếp xúc nhau tại t=1, nên ta tìm k sao cho f(t) và g(t) tiếp xúc với t=1 là đủ.

Điều kiện để hai đồ thị tiếp xúc với nhau là:

$\left\{\begin{matrix}
f(x_o)=g(x_o) & \\
f'(x_o)=g'(x_o) &
\end{matrix}\right.$

Thay $x_o=1$ vào ta tìm được $k=3$

Ta kiểm chứng: $x^3-1 \le 3(x^3-x^2) \Leftrightarrow (2x+1)(x-1)^2\ge0\\y^3-1\le3(y^4-y^3)\Leftrightarrow (3y^2+2y+1)(y-1)^2\ge0$

Cộng các vế ta có đpcm.

Tương tự ta có thể chứng minh bất đẳng thức sau: http://diendantoanhoc.net/topic/160967-max-hxy/?p=641961