Dùng tam thức bậc 2 để chứng minh bất đẳng thức

(Quảng Trị 2014) Chứng minh bất đẳng thức sau $3(x^2-x+1)(y^2-y+1) \ge 2(x^2y^2-xy+1)$ với mọi x, y thực.

Lời giải:

Có

$P = 3  (x^2-x+1 ) ( y^2-y+1) - 2( x^2y^2 - xy+1)=( y^2-3y+3 ) x^2 + ( 5y-3y^2-3 ) x + 3y^2-3y+1$

Có $ \displaystyle y^2 -3y+3 > 0 $ và

$$ \Delta = -3 \left( y^2- 3y+1 \right)^2 \le 0 $$

Nên

$$ P \ge 0 $$

Đó là điều cần chứng minh .