Bổ đề về hàm liên tục ứng dụng vào giải phương trình hàm

Ta có bổ đề sau:

Nếu f: R-> R vừa là hàm đơn ánh, vừa là hàm liên tục thì f đơn điệu.

Chứng minh:

Vì f là đơn ánh, ta chứng minh nếu tồn tại x<y sao cho f(x)< f(y) thì f đồng biến, (nếu với mọi x<y mà f(x) > f(y) thì hiển nhiên f nghịch biến). Giả sử f không đồng biến sẽ có 3 trường hợp sau xảy ra:

1) z<x<y và f(z) >f(x), f(x) <f(y)
2) x<y<z và f(z) < f(y), f(x) < f(y),
3) x<z<y và (f(z)-f(x))(f(z)-f(y)) >0

Ta sẽ chứng minh 1) sai, 2) tương tự, 3 sai suy ra từ 1) và 2) sai.

Chọn M sao cho f(x) <M < min {f(y), f(z)}. Theo tính chất hàm liên tục vì z<x<y nên tồn tại a sao cho z<a<x và f(a) =M, đồng thời tồn tại b sao cho x<b<y và f(b)=M. Như vậy a=b vì f đơn ánh nhưng điều này không thể xảy ra. Vậy f đơn điệu.

Như vậy ta có bài toán sau:

Tìm tất cả các hàm liên tục f: R-> thỏa mãn:

$f_{2017}(x)=x \forall x \in R$ (kí hiệu f_n(x)=f(f..f(x)..) n lần f.
Lời giải
Ta có f là đơn ánh
Ta chứng minh f là hàm đồng biến
Giả sử f nghịch biến , ta có x<y thì f(x) > f(y).
Suy ra $f_2(x) <f_2(y)$ cứ tiếp tục như thế ta sẽ có x>y mâu thuãn.

Vậy f là đồng biến.
Nếu f(x)>x khi đó bằng quy nạp suy ra được $f_{2017}(x) >x$ tương tự f(x) <x.

Vậy$ f(x)=x (\forall x \in R)$