Dùng bước nhảy Vi-et để giải bài toán chia hết

Đề bài: Chứng minh rằng nếu a,b là 2 số nguyên dương thỏa mãn $4ab-1$ là ước của $(a+b-1)(a+b+1) $thì $a=b$

Lời giải:

$4ab-1 \mid (a+b-1)(a+b+1) \iff 4ab-1\mid (a-b)^2+(4ab-1)$

Đến đây ta suy ra: $k_0=\frac{(a-b)^2}{4ab-1} \in Z$

Đến đây hướng giải bằng bước nhảy vi-et xuất hiện, ta tìm cách loại bỏ số hạng ab ở tử.

$k=2k_0+1=\frac{2(a^2+b^2)-1}{4ab-1}$

Với k=1 thì $k_o=0$ kéo theo $a=b$

Tiếp tục phần $k>1$

Phương trình $ \iff 2a^2-4kba+2b^2-k=0$ (1)

Ta giả sử $a+b$ nhỏ nhất và $a > b$ (Vì nếu $a=b$ thì $k=1$)

Và theo Vi-et thì, tồn tại t sao cho:
$\left\{\begin{matrix}t+a=2kb\\ ta=b^2-\frac{k}{2}\end{matrix}\right.$

$ \Rightarrow a+b \le b+t \Rightarrow t \ge a > b$
$ \Rightarrow 2kb=t+a \le 2t \Rightarrow 2kab \le 2at$

Mà do (1) thì $2kab=a^2+b^2-\frac{k}{2}$ và $2at=2b^2-\frac{k}{2}$

Từ đây suy ra $b \ge a$ Vô lí
Vậy ta có đpcm.

Dùng bước nhảy Vi-et để giải bài toán

Bài toán : Cho các số nguyên dương  thỏa mãn hệ thức  . Chứng minh rằng  là lũy thừa bậc năm của một số nguyên.

Lời giải :

Gọi  là cặp số thỏa mãn đề bài và có tổng  nhỏ nhất. Ta giả sử .

Xét phương trình bậc hai ẩn  :

Vì  thỏa mãn đề bài nên  là một nghiệm của phương trình . Gọi nghiệm còn lại là . Theo định lí  :

Ta có  nên từ  suy ra .

Các cặp  đều thỏa mãn  mà  nhỏ nhất nên :

.

Như vậy 

• Trường hợp 1 :   thay vào  thì 
• Trường hợp 2 :  thì từ  ta được :

Dễ thấy  cùng tính chẵn lẻ mà 

Trường hợp này không xảy ra

• Trường hợp 3 : 

Suy ra 

Do đó từ  suy ra 

Khi  thì từ  suy ra , vì . Vô lí vì phải có .

Tương tự khi xét . Tất cả đều dẫn đến vô lí. Trường hợp này loại.

Do đó ta luôn có  là lũy thừa bậc năm của một số nguyên. Đây là điều phải chứng minh.