Bất đẳng thức Vasc và ứng dụng.

Trong thế giới bất đẳng thức , ngoài những bất đẳng thức kinh điển và được áp dụng rất nhiều như bất đẳng thức AM – GM, bất đẳng thức Cauchy – Schwarz thì cũng tồn tại một số bất đẳng thức mới được sáng tác nhưng lại có áp dụng rộng rãi trong việc chứng minh các bất đẳng thức khác, chẳng hạn như bất đẳng thức Iran 1996,… Bài viết này xin được trình bày về một bất đẳng thức nổi tiếng của Vasile Cirtoaje hay còn gọi tắt là bất đẳng thức Vasc. Nhờ bất đẳng thức này mà chúng ta có thêm một công cụ để chứng minh một lớp các bất đẳng thức với ba biến độc lập.
Giới thiệu về bất đẳng thức Vasc
Bất đẳng thức Vasc thường được phát biểu như sau:

 Cho 𝑎, 𝑏, 𝑐 là 3 số thực dương và 𝑎𝑏𝑐 = 1. Khi đó:

$\sum \frac{1}{a^2+a+1}\ge 1$

Chứng minh:

Đặt: $(a,b,c)=(\frac{yz}{x^2},..)$

Khi đó bất đẳng thức đã cho trở thành

$\sum \frac{x^4}{x^4+x^2yz+y^2z^2}\ge 1$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz, ta có:

$\sum \frac{x^4}{x^4+x^2yz+y^2z^2}\ge \frac{(\sum x^2)^2}{\sum x^4 +\sum x^2yz+\sum y^2z^2}$

Do đó ta chỉ cần chứng minh:

$(\sum x^2)^2 \ge \sum x^4 +\sum x^2yz+\sum y^2z^2$

Bất đẳng thức này tương đương với:

$\sum y^2z^2 \ge xyz(x+y+z)$

Thế nhưng đây lại là một bất đẳng thức quen thuộc và ta có điều phải chứng minh. Từ đây ta suy ra dạng tổng quát của bất đẳng thức Vasc:

Cho 𝑎, 𝑏, 𝑐 là 3 số thực dương, 𝑘 là 1 số thực và 𝑎𝑏𝑐 = 1. Khi đó:
$\sum \frac{1}{a^{2k}+a^k+1}\ge 1$
 Lấy 1 trừ đi từng phân thức thì ta thu được:

$\sum \frac{a^{2k}+a^k}{a^{2k}+a^k+1}\le 2$

Ngoài ra ta cũng có thể viết bất đẳng thức dưới dạng:

 $\sum \frac{1}{(\frac{1}{a})^{2k}+(\frac{1}{a})^k+1}\ge 1 \Leftrightarrow \sum \frac{a^{2k}}{a^{2k}+a^k+1}\ge 1$

Và từ đó ta thu được 1 dạng khác của bất đẳng thức:

$ \sum \frac{a^{k}+1}{a^{2k}+a^k+1}\le 2$

Tùy vào từng bài toán mà ta có thể áp dụng chúng một cách linh hoạt Sau đây ta sẽ đi đến ứng dụng của bất đẳng thức này

Ứng dụng của bất đẳng thức Vasc
Bất đẳng thức Vasc là một bất đẳng thức khá chặt, và nó giúp ta giải được một số bài toán có dạng 𝑎𝑏𝑐 = 1 và cần đánh giá biểu thức 𝑓( 𝑎) + 𝑓 (𝑏) + 𝑓 (𝑐) ≥ ≤ một hằng số nào đó. Khi đó ta chỉ cần đánh giá các biểu thức 𝑓 (𝑎) , 𝑓 (𝑏) , 𝑓(𝑐) để lần lượt đưa về các phân thức của bất đẳng thức Vasc và sau đó cộng lại suy ra đpcm
 VD1: Cho 𝑎, 𝑏, 𝑐 là 3 số thực dương và 𝑎𝑏𝑐 = 1. Chứng minh rằng:

$\sum \frac{1}{4a^2-2a+1}\ge1$

Giải:

Ta có:

$\frac{1}{4a^2-2a+1}\ge \frac{1}{a^2+a+1} \Leftrightarrow a(a-1)^2(a+2) \ge 0 \\\Rightarrow \sum \frac{1}{4a^2-2a+1} \geq \sum \frac{1}{4a^2-2a+1}\geq 1$

Đúng theo Vacs.

VD2: Cho 𝑎, 𝑏, 𝑐 là 3 số thực dương và 𝑎𝑏𝑐 = 1. Chứng minh rằng:

$\sum \frac{a}{2a^3+1}\leq 1$

Lời giải:

Ta có: $\frac{2a}{2a^3+1}\leq \frac{a^2+1}{a^4+a^2+1} \Leftrightarrow (a-1)^2 \ge 0$

  Thiết lập các bất đẳng thức tương tự rồi cộng lại ta có đpcm.
VD3: Cho 𝑎, 𝑏, 𝑐 là 3 số thực dương và 𝑎𝑏𝑐 = 1. Chứng minh rằng:

$\sum \frac{1}{\sqrt{4a^2+a+4}}\le 1$
Lời giải
Ta có:

$\frac{1}{\sqrt{4a^2+a+4}}\le \frac{a+1}{2(a^2+a+1)} \Leftrightarrow a(a-1)^2\geq 0$

(Ta chọn $ \frac{a+1}{2(a^2+a+1)}$ để khi quy đồng được bất đẳng thức đồng bậc.)

Thiết lập các bất đẳng thức tương tự rồi cộng lại ta có đpcm .

VD4: Cho 𝑎, 𝑏, 𝑐 là 3 số thực dương và 𝑎𝑏𝑐 = 1. Chứng minh rằng:

$\sum \frac{1}{a^2-a+1}\leq 3$

Lời giải :

Ta có:
$ \frac{1}{a^2-a+1}\leq \frac{a^2+1}{a^4+a^2+1} \Leftrightarrow (a-1)^2(a^2-a+1) \geq 0$

(hiển nhiên đúng) Thiết lập các bất đẳng thức tương tự rồi cộng lại, ta có đpcm

Trên đây là một số bài toán đơn giản để giới thiệu sơ qua về bất đẳng thức Vasc.
Bây giờ, có một vấn đề được đặt ra mà chắc hẳn các bạn sẽ thắc mắc. Làm thế nào để đưa ra được các đánh giá như trên?Hay noi cách khác, làm thế nào để có thể chọn số 𝑘 cho phù hợp?
Xin được giới thiệu một kĩ thuật nho nhỏ để giải quyết vấn đề này Quay trở lại ví dụ đầu tiên Giờ ta giả sử có một số 𝑘 thỏa mãn:

$\frac{1}{4a^2-2a+1}\ge \frac{1}{a^{2k}+a^k+1} $

Bất đẳng thức này sẽ tương đương với:${4a^2-2a+1}\le {a^{2k}+a^k+1} $

Xét hàm $f(a)=a^{2k}+a^k+1-(4a^2-2a+1)$

Để ý đẳng thức xảy ra khi 𝑎 = 1 nên tính 𝑓'(a) và cho 𝑓 ′( 1) = 0 ta tìm ra 𝑘 = 2

Ví dụ 5: Cho 𝑎, 𝑏, 𝑐 là 3 số thực dương và 𝑎𝑏𝑐 = 1. Chứng minh rằng:
$\sum \frac{a+3}{(a+1)^2} \ge3$

Lời giải:

Giả sử có số 𝑘 mà:
$\frac{a+3}{(a+1)^2} \ge \frac{3}{a^{2k}+a^k+1}$

Bất đẳng thức này tương đương với:  $3a^2+5a \ge \left (a^{2k}+a^k+1  \right )\left ( a+3 \right )$

Tương tự như trên ta chọn được $k=\frac{3}{4}$

Đặt: $(a,b,c)=(x^{\frac{1}{4}},..)$

thì 𝑥𝑦𝑧 = 1 và bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
$\frac{x^{4}+3}{(x^4+1)^2}\ge \frac{3}{x^6+x^3+1} \Leftrightarrow (x-1)^2x^3(x^5+2x^4-x^2+1)\ge0$

Thiết lập các bất đẳng thức tương tự rồi cộng lại ta có đpcm.
Cuối cùng, xin được đưa ra một lời giải cho bài VMO 2014 bằng bất đẳng thức Vasc

Ví dụ 6: Cho 𝑥, 𝑦, 𝑧 là các số thực dương. Chứng minh rằng:
$\sum \frac{x^3y^4z^3}{(x^4+y^4)(xy+z^2)^3} \leq \frac{3}{16}$
 Lời giải:

Đặt: $(a,b,c)=(\frac{x}{y},..)$

thì 𝑎𝑏𝑐 = 1 và bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
$\sum \frac{1}{(a^4+1)(b+c^3)}\le \frac{3}{16}$

Áp dụng bất đẳng thức AM – GM:

$(b+c)^3\ge 8bc\sqrt{bc} \ge \frac{16}{a^2+a}$

Do đó ta chỉ cần chứng minh:$\sum \frac{a^2+1}{a^4+1}\le 3$

Ta có:

$  \frac{a^2+1}{a^4+1}\le \frac{3(a+1)}{2(a^2+a+1)} \Leftrightarrow \left ( a-1 \right )^2(a+1)(3a^2+4a+3) \ge 0$
(hiển nhiên đúng)
Thiết lập các bất đẳng thức tương tự rồi cộng lại ta có đpcm. Hi vọng bài viết này đã phần nào giới thiệu được đôi nét về bất đẳng thức Vasc cùng ứng dụng rộng rãi và các kĩ thuật sử dụng của bất đẳng thức này





Tài liệu tham khảo: 

1. Diễn đàn Mathlink: www.artofproblemsolving.com 

2. Diễn đàn Toán học: diendantoanhoc.net/forum 

3. Bất đẳng thức và những lời giải hay – Võ Quốc Bá Cẩn, Trần Quốc Anh