Bài toán chia đôi trong đề thi Bình Thuận

Đề bài: Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O). AB cắt CD tại M, AD cắt BC tại N. AC cắt BD tại P. K là trung điểm MN, PK cắt (O) tại H. MH, NH cắt (O) tại I, J. Chứng minh KP chia đôi IJ.

Hướng dẫn:

Gọi T là điểm Miquel, G là giao điểm của NI và MJ.
Ta có $MI.MH=MA.MB=MN.MT$ suy ra tứ giác NTIH nội tiếp
Tương tự được tứ giác $MTHJ$ nội tiếp
Xét tam giác GMN có INHT và HTJM nội tiếp nên theo định lý Miquel GIHJ nội tiếp hay G thuộc (O).
Theo định lý Brocard ta có:
$OP.OT=R^2$ nên IJ giao GH tại P. Ta cũng có G, H, K thẳng hàng từ đó suy ra GK chia đôi IJ tại P.

Cách 2: Qua P kẻ đường thẳng vuông góc OP cắt (O) tại I, J  như hình vẽ, Gọi H là giao điểm MI và (O), Ta sẽ chứng minh N,H, J thẳng hàng và P, H, K thẳng hàng.

Áp dụng định lý Pascal cho 6 điểm HIADCJ Ta có M, X, $N_1$ thẳng hàng ($N_1 $ là giao của AD và JH) $\Rightarrow  AD \cap MX \equiv N_1$ nên N trùng $N_1$ hay N, H, J thẳng hàng.

Mặt khác theo định lý Brocard thì OP vuông MN nên IJ song song MN. Lại do P là trung điểm IJ nên P, H, K thẳng hàng. Như vậy ta có đpcm

Từ một bổ đề cho đến bài thi ELMO 2016

Ta có bổ đề sau:

Bổ đề . $\triangle ABC$, $M$, $N$ thuộc $BC$ thì $(AMN)$ tiếp xúc $(ABC)$ khi và chỉ khi $AM$, $AN$ đẳng giác với góc $A$.

Chứng minh bổ đề: $O$, $I$ là tâm của $(ABC)$ và $(AMN)$, $AH$ là đường cao của $\triangle ABC$ thì đương nhiên $AH$ cũng là đường cao của $\triangle AMN$. $AH$, $AO$ đẳng giác với $\angle (AB,AC)$; $AH$, $AI$ đẳng giác với $\angle (AM,AN)$ nên $(A,O,I)$ thẳng hàng khi và chỉ khi $\angle(AB,AC)$ và $\angle (AM,AN)$ có chung phân giác - tức là $AM$, $AN$ đẳng giác.

Đề bài. Trong $\triangle ABC$ với $AB \neq AC$, cho đường tròn nội tiếp của nó tiếp xúc với $BC, CA$ và $AB$ tại $D, E$ và $F$, theo đúng thứ tự. Phân giác trong của $\angle BAC$ cắt đường $DE$ và $DF$ tại $X$ và $Y$, theo thứ tự. Gọi $S, T$ là các điểm khác nhau trên cạnh $BC$ sao cho $\angle XSY = \angle XTY = 90^{\circ}$. Cuối cùng, gọi $\gamma$ là đường tròn ngoại tiếp $\triangle AST$.
Chứng minh rằng $\gamma$ tiếp xúc với $\odot (ABC)$
Chứng minh rằng $\gamma$ và đường tròn nội tiếp của $\triangle ABC$ tiếp xúc nhau.

Lời giải:

câu a)

Để ý $D(BA,EF)=-1\implies D(ZA,YX)=-1$ mà $\angle YSX=\angle YTX=90^\circ\implies SX,TX$ lần lượt là phân giác $\angle ZTA,\angle ZSA\implies AI$ là phân giác $\angle SAT\implies AS,AT$ đẳng giác trong $A\implies \gamma $tiếp xúc $(O)$.


Câu b) Do $DE$ đi qua tâm nội tiếp tam giác $AST,(I)$ tiếp xúc với $AC,TC$ tại $E,D$ nên theo bổ đề Sayawama thì $(I)$ tiếp xúc $\gamma$