Xây dựng tập hợp thỏa mãn đề bài

Đề: Chứng minh rằng tồn tại một tập A gồm vô hạn phần tử sao cho ta có thể trích tập hữu hạn B từ A, mà tổng các phần tử của B không phải là lũy thừa của một số nguyên

( Kvant)

Lời giải:

Xét tập hợp: A={$p^n.q^{n+1}: (p,q)=1, n \ge 1$}

Nếu B={$p^{n_1}.q^{n_1+1},...p^{n_k}.q^{n_k+1}$} là một tập hữu hạn trích từ A và $n_1<..n_k$

như vậy tổng các phần tử của B bằng: $p^{n_1}.q^{n_1+1}(1+p^{n_2-n_1}q^{n_2-n_1}+..)=p^{n_1}.q^{n_1+1}.N$

Mà $(N,p)=(N,q)=1$ nên ta có đpcm