Câu dãy số số học trong IMO và phương pháp suy luận

Đề bài: (IMO 18th) Cho dãy $(u_n)$ xác định như sau: $u_o=2$, $u_1=\frac{5}{2}$ và

$u_{n+1}=u_n(u_{n-1}^2-2)-u_1$

Chứng minh rằng $[u_n]=2^{\frac{2^n-(-1)^n}{3}}$

Lời giải:

Do đề bài yêu cầu chứng minh $[u_n]=2^{\frac{2^n-(-1)^n}{3}}$

Nên ta sẽ cố gắng biểu diễn $u_n$ dưới dang $2^x+a$

Bắt đầu với $u_1$

$u_1=\frac{5}{2}=2+\frac{1}{2}$

$u_2=(2+\frac{1}{2})(2^2-2)-(2+\frac{1}{2})=2+\frac{1}{2}$

$u_3=(2+\frac{1}{2})[(2+\frac{1}{2})^2-2]-(2+\frac{1}{2})$

Ta có thể đoán trước được $u_3=2^3+a (a<1)$ do thay 3 vào điều kiện đề bài

Nên ta tìm cách lấy số $2^3$ ra khỏi $u_3$, ta được:

$u_3=2^3+\frac{1}{2^3}$

Tương tự $u_4=2^5+\frac{1}{2^5}$

Bây giờ ta sẽ chứng minh: $u_n=2^{a_n}+\frac{1}{2^{a_n}}$

Do bài toán cần chứng minh $[u_n]=2^{\frac{2^n-(-1)^n}{3}}$  ta sẽ chứng minh:

Với $a_n=\frac{2^n-(-1)^n}{3}$ đây là công thức tổng quát của $a_n$ tuyến tính bậc 2 nên ta viết lại $a_{n+1}=a_n+2a_{n-1}$

Dễ thấy mệnh đề đúng với n=1,2,3,4,5.

Với n+1 thì:

$u_{n+1}=(2^{a_n}+2^{-a_{n}})(2^{a_{n-1}}+2^{-a_{n-1}-2}-(2+\frac{1}{2})$

Nhân ra ta được:

$u_{n+1}=2^{a_n+2a_{n-1}}+2^{-a_{n}-2a_{n-1}}+2^{2a_{n-1}-a_n}+2^{a_n-2a_{n-1}}-2-2^{-1}$

Mặt khác  Do: $a_{n+1}=a_n+2a_{n-1} \Rightarrow 2a_{n-1}-a_n=(-1)^n$

Thay vào ta có đpcm.