Dùng hàng điểm để chứng minh thẳng hàng.

Bài toán: Cho tam giác ABC nhọn tâm đường tròn ngoại tiếp O, trực tâm H, đường cao AD. AO cắt
BC tại E. đường thẳng qua D song song OH lần lượt cắt AB,AC tại M,N. I là trung iểm
AE. DI lần lượt cắt AB,AC tại P,Q. MQ cắt NP tại T. Chứng minh rằng D,O, T thẳng
hàng.

Trần Quang Hùng

Đ ại học Khoa học Tự nhiên, Đ HQGHN

Lời giải:

Gọi F là trung điểm BC.

Theo một số kết quả cơ bản ta có $\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{OF}$ Suy ra AE song song GF suy ra DI đi qua trung điểm J của GF, mà ta lại có CHOF là hình bình hình hành nên DI đi qua trung điểm HO.

DO cắt AB, AC tại K, L.

Ta có $D(HOJN) = (HOJ) = −1.$ (DN song song HO)

$(AKMP) = D(AKMP) = D(ALNQ) = (ALNQ) = D(HOJN) = −1$

Khi (AKMP) = −1 ta cũng có (AKPM) = −1. Vậy từ hai đ ẳng thức trên ta có (AKPM) =
(ALNQ) hay KL, PN,MQ đồng quy tại T, nói cách khác D,O, T thẳng hàng. Ta có điều
phải chứng minh.

Dùng đường đối trung để giải bài toán.

Cho tam giác ABC nhọn, BE,CF là các đường cao. M là trung đ iểm của BC. N là giao

của AM và EF. X là hình chiếu của N trên BC. Y,Z theo thứ tự là hình chiếu của X trên

AB,AC. Chứng minh rằng N là trực tâm của tam giác AY Z.

Gọi K là hình chiếu của M lên EF. Thì K là trung điểm EF.

Ta có tam giác AKF đồng dạng tam giác AMC (c.g.c), kết hợp với tức giác KMNX nội tiếp ta có:

$\angle AKX=\angle AKF+\angle EKX=\angle AMB+\angle AMC=180^o$

Nên $A, K, X$ thẳng hàng.

Dùng AX là đối trung kết hợp tứ giác  AXYZ nội tiếp xuy ra AN vuông YZ

Ngoài ra $NE/NF=AE^2/AF^2=AB^2/AC^2=XB/XC=YB/YF$

Nên ta có NY song song BF hay NT vuông AZ.

Vậy ta có đpcm

Nhận xét: Qua bài này ta cần lưu ý kết quả sau, đường đối trung của tam giác ABC đi qua trung điểm EF.