Dùng đường tròn Apollonius vào bài toán tìm tập hợp điểm

Lưu ý với một số bài toán dùng đường tròn $Apollonius$ để tìm tập hợp điểm, ta phải xét tỉ số bằng 1 là thiết yếu do khi đó quỹ tích sẽ là đường trung trực của đoạn thẳng chứ không còn là đường tròn nữa. Chúng ta xét các bài tập sau:
Bài 1: Cho tam giác ABC và điểm P . Gọi $P_1, P_2, P_3$ là hình chiếu vuông góc của P trên BC, CA, AB

theo thứ tự. Tìm quỹ tích của P sao cho $P_1P_2 = P_1P_3$

Lời giải

Ta có tứ giác BP1PP3 nội tiếp trong đường tròn đường kính BP nên theo định lý sin ta có

$P_1P_3 = BP sin B$

Tương tự

$P_1P_2 = CP sin C$

$\Rightarrow P_1P_2=P_1P_3 \Leftrightarrow  \frac{BP}{CP}=\frac{sinC}{sinB}=\frac{AB}{AC}$
Vậy quỹ tích P là đường tròn A − apollonius của tam giác ABC
Nếu AB=AC thì P thuộc trung trực BC.
Bài 2 (VMO 1999): Cho tam giác ABC nội tiếp (O). Hãy xác định vị trí của P không thuộc đường tròn để các đường PA, PB, PC cắt lại đường tròn ở A', B', C' sao cho tam giác A'B'C' là vuông cân với đáy B'C'.

Lời giải:

Hình vẽ chỉ mang tính chất minh họa vì lời giải sử dụng góc định hướng nên không cần xét hai trường hợp P ở trong và ngoài đường tròn

Giả sử điểm P thỏa mãn đề bài, không mất tính tổng quát giả sử (AB, AC) là góc dương. P phải thỏa hai điều kiện sau:
Điều kiện 1: (PB,PC)=(PB,AB)+(AB,AC)+(AC,PC)
=(BP,BA)+(CA,CP)+(AB,AC).

$\Rightarrow (PB,PC)\equiv (A'B',A'A)+(A'A,A'C')+(AB,AC)\\ \equiv (A'B',A'C')+(AB,AC) \equiv \frac{\pi}{2}+(AB,AC)(mod \pi)$


Nếu tam giác ABC vuông tại A thì P thuộc BC.

Nếu tam giác ABC không vuông tại A thì P nằm trên đường tròn $C$ đi qua B, C và chắn cung $\frac{\pi}{2}+(AB,AC)$

Điều kiện 2: Ta có:

$\triangle ABP \sim \triangle B'A'P \Rightarrow \frac{AB}{A'B'}=\frac{PB}{PA'}\\\frac{AC}{A'C'}=\frac{CP}{A'P}\\B'A'=A'C'\Rightarrow \frac{PB}{PC}=\frac{AB}{AC} (3)$

Nếu AB=AC thì P thuộc trung trực BC
Nếu AB khác AC thì P thuộc đường tròn Apollonius $(C_p)$ thỏa mãn (3)

Kết hợp những điều kiện trên suy ra được tập hợp điểm.

Bài 3: (VMO 2000): Trên mặt phẳng cho trước $(O_1)$ tâm $O_1$ bán kính $r_1$ và $(O_2)$ tâm $O_2$ bán kính $r_2$. Trên đường tròn $(O_1)$ lấy một điểm $M_1$, trên đường tròn $(O_2)$ lấy một điểm $M_2$ sao cho đường thẳng $O_1M_1$ cắt $O_2M_2$ tại một điểm Q. Cho $M_1$ chuyển động trên đường tròn $(O_1)$, $M_2$ chuyên động trên đường tròn $(O_2)$ cùng theo chiều kim đồng hồ và với vận tốc góc như nhau.
1) Tìm quỹ tích trung điểm đoạn thẳng $M_1M_2$

2) Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác $M_1QM_2$ luôn đi qua một điểm cố định.

Lời giải:

Do điều kiện bài toán ta sẽ dùng góc định hướng để lời giải ngắn gọn và chuẩn xác.

Câu 1  bạn đọc dùng Vecto rồi giải, ta chỉ quan tâm đến câu 2 vì có liên quan đến đường tròn Apollonius

Gọi P là giao điểm thứ 2 của $(M_1QM_2)$ và $O_1QO_2$ thì:

$\left ( \overrightarrow{PM_1}, \overrightarrow{PO_1} \right )=\left ( \overrightarrow{PM_1}, \overrightarrow{PM_2} \right )+\left ( \overrightarrow{PM_2}, \overrightarrow{PO_2} \right )+\left ( \overrightarrow{PO_2}, \overrightarrow{PO_1} \right )=\left ( \overrightarrow{PM_2}, \overrightarrow{PO_2} \right )\\ \left ( \overrightarrow{O_1M_1},\overrightarrow{O_1P} \right )=\left ( \overrightarrow{O_1M_1},\overrightarrow{O_2M_2} \right )+\left ( \overrightarrow{O_2M_2},\overrightarrow{O_2P} \right )+\left ( \overrightarrow{O_2P},\overrightarrow{O_1P} \right )=\left ( \overrightarrow{O_2M_2},\overrightarrow{O_2P} \right )$

do đó tam giác $PO_1M_1 \sim PO_2M_2$. Suy ra $\frac{PO_1}{PO_2}=\frac{r_1}{r_2}$ Do đó nếu $r_1=r_2$ thì P thuộc trung trực $O_1O_2$ còn nếu không thì P thuộc đường tròn Apollonius dựng trên đoạn $O_1O_2$ cố định, theo tỉ số $\frac{r_1}{r_2}$ không đổi.

Mặt khác: $\left ( \overrightarrow{PO_1}, \overrightarrow{PO_2} \right )=\left ( \overrightarrow{QO_1}, \overrightarrow{QO_2} \right )=\alpha$ (Không đổi)

Kết hợp những điều trên suy ra P cố định.

Nhận xét: Để ý rằng Q là tâm của phép vị tự quay biến tam giác $PM_1M_2$ thành tam giác $PO_1O_2$

Định lý Hensen

Định lý Hansen được phát biểu như sau (tham khảo trong Một số kiến thức về hình học phẳng trong các cuộc thi OLYMPIC Toán):

Cho tam giác ABC có r là bán kính đường tròn nội tiếp, $r_a, r_b, r_c$ là các bán kính đường tròn bàng tiếp. Khi đó các khẳng định sau là tương đương:

1. Tam giác ABC vuông.
2. $r+r_a+r_b+r_c=a+b+c$
3. $r^2+r_a^2+r_b^2+r_c^2=a^2+b^2+c^2$

Giải:

Trước hết gọi $(I), (I_a), (I_b), (I_c)$ lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp, bàng tiếp góc A, bàng tiếp góc B, bàng tiếp góc C của tam giác ABC.

Gọi D là trung điểm BC, N là trung điểm $I_bIc$ Khi đó áp dụng tính chất đường trung bình của hình thang $2ND=r_b+r_c$

Mà $ND=R+OD=R+\frac{AH}{2}$ (H là trực tâm của tam giác ABC)

Mặt khác: Gọi X là tiếp điểm của (I) với BC, X' là tiếp điểm của $(I_a)$ với BC.

I' đối xứng I qua O.

M là giao điểm của $II_a$ và (O).

Ta có $2OD=I'X'+IX=r+2R-r_a$ Do $I'X'=2R-r_a$

Kết hợp tất cả những gì chứng minh ta có các đẳng thức sau:

a) $r_a+r_b+r_c=4R+r$

b) $AH = 2R + r − r_a, BH = 2R + r − r_b, CH = 2R + r − r_c.$

Như vậy 1. Tương đương $AH+BH+CH+2R=a+b+c$

$2R(cosA+cosB+cosC)=2R(sinA+sinB+sinC)$

Tương đương $(sin\frac{C}{2}-cos\frac{C}{2})(cos\frac{A-B}{2}-cos\frac{C}{2}))=0$

Điều phải chứng minh.

2. Tương đương $ (2R + r − r_a)^2+(2R + r − r_b)^2+(2R + r − r_c)^2+4R^2=a^2+b^2+c^2$

$ (2R + r − r_a)^2+(2R + r − r_b)^2+(2R + r − r_c)^2+4R^2-(a^2+b^2+c^2))$
$= 4R^2(cos^2 A + cos^2 B + cos^2 C + 1 − sin^2 A − sin^2 B − sin^2 C)$
$= − 16R^2 cos A cos B cos C=0.$

Như vậy tam giác ABC vuông.

Vậy ta có đpcm.