Từ hằng đẳng thức đến bất đẳng thức

Ta có hằng đẳng thức sau:

$\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}+\frac{b^2-c^2}{b^2+c^2}+\frac{c^2-a^2}{c^2+a^2}=-\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}\frac{b^2-c^2}{b^2+c^2}\frac{c^2-a^2}{c^2+a^2}$


Bài toán: Chứng minh rằng với mọi $a,b,c$ dương ta có;

$\sum \frac{ab}{3a^2+b^2}\le \frac{3}{4}$

Lời giải

Bất đẳng thức tương đương:

$\sum \frac{(a-b)(3a-b)}{3a^2+b^2}\ge 0 \Leftrightarrow \sum (a-b)(\frac{2(3a-b)}{3a^2+b^2}-\frac{a+b}{a^2+b^2})\ge -\sum \frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}\\\Leftrightarrow \sum \frac{(a-b)^2(3a^2-2ab+3b^2)}{\left (3a^2+b^2  \right )\left ( a^2+b^2 \right )} \ge\prod \frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}$

Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:

$\sum \frac{(a-b)(3a-b)}{3a^2+b^2}\ge 0 \Leftrightarrow \sum (a-b)(\frac{2(3a-b)}{3a^2+b^2}-\frac{a+b}{a^2+b^2})\ge -\sum \frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}\\\Leftrightarrow \sum \frac{(a-b)^2(3a^2-2ab+3b^2)}{\left (3a^2+b^2  \right )\left ( a^2+b^2 \right )} \ge3\sqrt[3]{\prod \frac{(a-b)^2(3a^2-2ab+3b^2)}{\left (a^2+b^2  \right )(3a^2+b^2)}}$

Quy đồng và mũ 3 hai vế ta chỉ cần chứng minh:

$27\prod (3a^2-2ab+3b^2)\left ( a^2+b^2 \right )^2\geq \prod (a-b)(a+b)^3(3a^2+b^2)$

Bất đẳng thức này được chứng minh nếu ta chứng minh được bất đẳng thức sau với mọi x; y > 0

$3(3x^2-2xy+3y^2)\left ( x^2+y^2 \right )^2\geq  \left |(x-y)  \right |(x+y)^3(3x^2+y^2)$

Theo bất đẳng thức Cauchy Schwarz, ta có

$x^2+y^2\ge\frac{1}{2}(x+y)^2$

Nên ta chỉ cần chứng minh :

$3(3x^2-2xy+3y^2)\left ( x^2+y^2 \right )\geq  2\left |(x^2-y^2)  \right |(3x^2+y^2)$

Bất đẳng thức này hiển nhiên đúng do

$\left ( x^2+y^2 \right )\geq  |(x^2-y^2) |$

Và: $3(3x^2-2xy+3y^2)- 2(3x^2+y^2)=3(x-y)^2+4y^2 \ge 0$

Bất đẳng thức được chứng minh xong. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c: