Dùng tính liên tục của tổ hợp để giải bài toán.

Ví dụ: Cho bảng vuông nxn gồm$n^2$ ô vuông đơn vị. Điền vào các ô đơn vị các số nguyên sao cho hai ô cạnh nhau (có cạnh chung) được điền vào hai số chênh lệch nhau không quá 
$1$ đơn vị. Chứng minh rằng có một số xuất hiện ít nhất $n$ lần.

Ta sẽ giải bằng nguyên lí cực hạn kết hợp với tính liên tục của nó:

Trên mỗi hàng chọn ra số lớn nhất. Gọi số bé nhất trong các số đó là $a$

Trên mỗi hàng chọn ra số bé nhất. Gọi số lớn nhất trong các số đó là $b$

Trên mỗi cột chọn ra số lớn nhất. Gọi số bé nhất trong các số đó là $c$

Trên mỗi cột chọn ra số bé nhất. Gọi số lớn nhất trong các số đó là $d$

Trước hết ta chứng minh $c\ge b$

Thật vậy gọi $e$ là số nằm trên cột chứa $c$ và hàng chứa $b$

Khi đó theo cách gọi $c\ge e,e\ge b$ suy ra $c\ge b$

Tương tự $a\ge d$ 

TH1 : $a>b$

Gọi $x$ là một số bất kỳ nằm giữa $a$ và $b$

Khi đó dễ thấy hàng nào cũng phải chứa $x$ (Vì trên mỗi hàng $x$ đều không nhỏ hơn số bé nhất của hàng đó và không lớn hơn số lớn nhất của hàng đó) 

Khi đó $x$ lặp lại $n$ lần

TH2 :$a\le b$

-Nếu $c>d$ thì xét tương tự TH1

-Nếu $c\le d$ 

Theo trên ta có: $c\ge b\ge a\ge d$

Từ đây dễ suy ra $a=b=c=d$ suy ra cả $n^2$ số trên bảng đều bằng nhau

 Vậy tồn tại một số xuất hiện ít nhất $n$ lần 

Nhận xét : cách giải ở trường hợp ta $a>b$ đã dùng tính liên đó là từ a đến b chắc chắn phải đi qua x. Xét trên một hàng bất kì. Thì  số nhỏ nhất $\ge b \ge x  \ge a \ge$ số lớn nhất nên từ số nhỏ nhất đến số lớn nhất thì luôn tăng hoặc giảm 1 đơn vị nên chắc chắn phải đi qua x.

link nguồn: http://diendantoanhoc.net/topic/158120-ch%E1%BB%A9ng-minh-r%E1%BA%B1ng-c%C3%B3-m%E1%BB%99t-s%E1%BB%91-xu%E1%BA%A5t-hi%E1%BB%87n-%C3%ADt-nh%E1%BA%A5t-n-l%E1%BA%A7n/#entry632412