Dùng điều kiện toàn ánh để giải phương trình hàm

Bài 1(Iran TST 2011): Tìm tất cả hàm số toàn ánh: $f:\mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}$ thỏa mãn:

\[f(x+f(x)+2f(y))=f(2x)+f(2y).(\forall x,y \in \mathbb{R}) \]

Lời giải:

Do f toàn ánh nên tồn tại a sao cho f(a)=0.

$(a,a)$ $\Rightarrow $ $f(2a)=0$ $\Rightarrow$ $f(4a)=0$ $\Rightarrow $ ....

Từ (a,y) và (2a,y) và tính toàn ánh của hàm số f ta suy ra:

$f(x+a)=f(x) \forall x \in R \Rightarrow  f(x)=f(x-a) \forall x \in R$ (1)

$\Rightarrow f(0)=f(a)=0$

Do f là toàn ánh nên với mỗi x thuộc R tồn tại $y_o$ sao cho: $f(y_o)=\frac{x-f(x)}{2}$

$(x,y_o) \Rightarrow f(2y_o)=0 $

$(0,y_o) \Rightarrow f(2y_o)=0=f(2f(y_o))=f(x-f(x))=0 (\forall x \in R)$

Tương tự như (1) ta có:

$f(x)=f(x-(x-f(x)))=f(f(x)) (\forall x \in R) $ Do f toàn ánh nên $f(x)=x (\forall x \in R)$

Nhận xét: Ý tưởng: "tồn tại $y_o$ sao cho: $f(y_o)=\frac{x-f(x)}{2}$" khá quan trọng trong bài toán

Bài 2: (30/04 lớp 11 năm 2016):  Tìm tất cả hàm số toàn ánh: $f:\mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}$ thỏa mãn:

\[f(x+f(x)+2f(y)+2f(z))=f(2x)+f(2y)+f(2z).(\forall x,y,z \in \mathbb{R}) \] 

Lời giải:

Do f toàn ánh nên tồn tại a sao cho f(a)=0.

Cho $x=y=z=a$ ta được $f(2a)=0$

Cho $z=a$ ta được đề Iran TST 2011.

Bài 3: (Brazil 2006): Tìm tất cả hàm số: $f\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ thỏa mãn:

\[f(xf(y)+f(x)) = 2f(x)+xy\] với mọi số thực x,y.

Lời giải:

Cho $x=1$ Dễ dàng suy ra được hàm số đã cho song ánh.

Nên tồn tại a,b sao cho $f(a)=0, f(b)=1$

Cho $x=a, y=b$ ta được:

$ab=0$

Nếu $a=0$ thì cho y=0 vào ta suy ra $f(f(x))=2f(x)$ với mọi x thực dùng điều kiện song ánh suy ra $f(x)=2x \forall x \in R$ thử lại thấy không thỏa

Vậy $b=0$.

Mặt khác cho $x=y=-1$ vào pt hàm ban đầu ta được:

$f(-1)=0$

Cho y=-1 vào pt hàm ban đầu ta được:

$f(f(x))=2f(x)-x$ (2)

Trong (2) cho x=0 ta được $f(1)=2$

Cho x=-1,y=1 ta được:

$f(-2)=-1$ 

Mặt khác do f là toàn ánh nên với mỗi x thuộc R tồn tại $y_o$ sao cho $f(y_o)=f(x)-x $

$P(x,-2): f(f(x)-x)=2(f(x)-x) $hay $f(f(y_o))=2f(y_o)$

Mặt khác từ (2) suy ra $f(f(y_o))=2f(y_o)-y_o$

Suy ra $y_o=0$ suy ra $f(x)=x+1$ với mọi x thuộc R

Nhận xét: ta thấy được $f(x)=x+1$ thỏa mãn yêu cầu đề bài và ta cần tìm y sao cho $2(xf(y)+f(x))=2f(x)+xy$ hay $2f(y)=y$ giải phương trình được $y=-2$

Bài tập: các bạn hãy dùng cách trên để giải VMO 2017:

Tìm tất cả các hàm số : $f:R\to R$ thỏa mãn hệ thức:

$$f\left ( xf\left ( y \right )-f\left ( x \right ) \right )=2f\left ( x \right )+xy$$ với mọi số thực $x,y$