Dùng vị tự quay để giải một bài toán

Bài 1 (Trần Việt Hùng): Cho tam giác ABC nội tiếp (O) và đường tròn mixtilinear (D) ứng với góc A tiếp xúc với (O), AB, AC tại X, E, F. AX cắt đường tròn (D) tại K. L là điểm đối tâm của K đối với (D). EF cắt KL tại M. AL cắt (ABC) tại điểm thứ hai là N. Chứng minh XM vuông XN

Lời giải:

Ý tưởng là chứng minh $\angle MXA=\angle NXL$ Gọi MX cắt (D) tại R, Gọi A' là điểm đối tâm của A đối với (O) thì ta có X, L, A' thẳng hàng.
Ta có được: $\angle XAR=\angle XA'N$ ta cần chứng minh: $\Delta AXR \sim \Delta A'XN$ dùng phép vị tự quay tâm X ta đưa về bài toán $\Delta RXN \sim \Delta AXA'$
Mặt khác ta có: $\frac{RE}{RF}=\frac{XE}{XF}=\frac{KE}{KF}=\frac{LE}{LF}$ suy ra tứ giác RELF là tứ giác điều hòa suy ra L, R, A thẳng hàng.
Như vậy ta có: $\angle XNA= \angle XA'A$
Và $\angle XRN=\angle XKL=\angle XAA'$ ( do X là tâm vị tự của (D) biến thành (O) nên KL//AA' )
Như vậy ta có đpcm

Chứng minh một điểm là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác

Bài toán: (Hải Phòng 2016) Cho tam giác nhọn ABC (AB<AC), phân giác trong đỉnh A cắt BC tại D, E là điểm trên đoạn BC sao cho BD=CE. Phân giác ngoài đỉnh A cắt đường thẳng qua D và vuông góc với BC tại F. I là trung điểm DF, đường thẳng EI cắt AD tại M, đường thẳng EF cắt đường thẳng qua M và vuông góc với BC tại K.
a) Đường thẳng AF cắt đường thẳng BC tại P, KD cắt đường tròn đường kính DF tại L (khác D). Chứng minh rằng đường thẳng PL tiếp xúc với đường tròn đường kính DF.
b) Chứng minh rằng I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác KBC.

Lời giải:

a) Gọi N là giao điểm của KM và BC. Do I là trung điểm DF, DF// NK nên EI đi qua trung điểm NK. hay M là trung điểm NK
Ta có (LADF)=D(LADF)=D(KMNF)=-1 Vậy tứ giác ALFD điều hòa

Suy ra: tiếp tuyến tại L, AF, tiếp tuyến tại D đồng quy tại P hay PL là tiếp tuyến của đường tròn đường kính DF

b) Kẻ, BX, CY lần lượt là tiếp tuyến tới [DF]
(DXLY)=D(DXLY)=I(DBPC)=-1.Nên tứ giác DXLY điều hòa. Như vậy BX, CY, DL đồng quy

Gọi d là đường thẳng qua I song song BC, P là giao điểm EF và (I), M là trung điểm BC
Ta có:  (XYFP)=D(XYFP)=I(BCdM)=-1

Vậy tiếp tuyến tại X, Y, và FP cũng đồng quy.
Ta có đpcm

Nhận xét: Thực ra đây là bài toán ngược của bài toán: Cho tam giác ABC có (I) nội tiếp. (I) tiếp xúc với BC, CA, AB tại D, E, F. EF cắt BC tại P. AD cắt (I) tại L. Khi đó PL là tiếp tuyến thứ 2 của (I).

Ứng dụng đường tròn điểm trong giải toán

Đề:
Cho tam giác ABC và điểm P. AP, BP, CP cắt BC, CA, AB tại D, E, F. Gọi Q là điểm đẳng giác của P trong tam giác DEF. Đường thẳng qua P vuông góc với AP, BP, CP cắt BC, CA, AB tại X, Y, Z. Chứng minh X, Y, Z cùng nằm trên đường thẳng d và D vuông góc với PQ

Lời giải:

Dùng tỉ số kép với các đường lần lượt vuông góc như sau:

$P(AXYZ)=P(XABC)=A(XPBC)=A(PXCB)=A(PXYZ)$

Vậy X, Y, Z thẳng hàng.

Ý sau chứng minh khó theo Huỳnh Bách Khoa:

Ở lời giải trên ta đã dùng bổ đề sau:

Về câu hình học đề thi Israeli

Đề: Cho PQ là đường kính của đường tròn H. Đường tròn (O) tiếp xúc trong với H và tiếp xúc PQ tại C. Gọi A là điểm trên H và B là một điểm trên PQ sao cho AB vuông PQ và tiếp xúc với (O). Chứng minh rằng AC là phân giác góc PAB.

Giải.

Cách 1: Gọi M là tâm của H. (O) tiếp xúc trong với H tại X, tiếp xúc AB tại Y. Để ý rằng góc PXQ=90 độ

Vậy $QC^2=QX.QY=QB.QP=QA^2$ suy ra $QA=QC$

Lấy đối xứng của C qua Q gọi là C'.

Thì AB là đường đối cực của C' với (O). Suy ra: $(PB,CC')=-1$ ( hoặc có thể chiếu theo điểm A). Vì thế AC là phân giác góc PAB.

Cách 2: Gọi A' đối xứng A qua PQ.
Áp dụng định lý Lyness mở rộng ta có AC đi qua tâm nội tiếp tam giác PAA' mà PB là phân giác góc APA'. Như vậy C là tâm nội tiếp của tam giác.

Vậy AC là phân giác góc PAB.

Nguồn: https://cms.math.ca/crux/v24/n4/page196-207.pdf trang 201