Các kiến thức cần nhớ:
$$-1 \equiv a^2 (mod p) \Leftrightarrow p \equiv 1 (mod 4)\\
2 \equiv a^2 (mod p) \Leftrightarrow p\equiv 1,7 (mod 8)\\
-2 \equiv a^2 (mod p) \Leftrightarrow p \equiv 1,3 (mod 8)$$
Ta sẽ xét các ví dụ dùng thặng dư bậc hai để chứng minh một số trường hợp vô nghiệm của phương trình Mordell:
Vd 1: Giải phương trình $y^2=x^3+7$ trên tập số tự nhiên.
Giải:
Giả sử tồn tại $(x,y)$ thỏa mãn.
Nếu $x$ chẵn thì $y^2 \equiv 7 (mod 8)$ ( Loại)
Nên $x$ lẻ và $y^2+1=(x+1)(x^2-2x+4)$
Vì $x$ lẻ nên $x^2-2x+4=(x-1)^2+3 \equiv 3 (mod 4)$ vì thế $x^2-2x+4$ phải có một ước nguyên tố $p \equiv 3 (mod 4)$ (nếu không thì $x^2-2x+4 \equiv 1 (mod 4)$)
Ta suy ra $p| y^2+1$ nên $-1 \equiv y^2 (mod p)$ không được do $p \equiv 3 (mod 4)$
Vd 2: Chứng minh phương trình $y^2=x^3-5$ vô nghiệm tự nhiên.
Giải:
Giả sử tồn tại, xét mod 4: $y^2\equiv x^3-1 (mod 4)$
Xét $y \equiv 0,1,2,3 (mod 4), x \equiv 0,1,2,3 (mod 4)$ nhận thấy chỉ có giá trị chung của $y^2 (mod 4)$ và $x^3-1 (mod 4)$ là $0$ vì thế $y$ chẵn và $x \equiv 1 (mod 4)$
vậy:
$y^2+4=x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$, $x^2+x+1 \ge 3 \equiv 3 (mod 4)$ nên $-4$ là số chính phương mod $p$ hay $-1$ là số chính phương mod $p$ suy ra $p \equiv 1 (mod 4)$ mâu thuẫn với $p \equiv 3 (mod 4)$
Vd3: Chứng minh rằng phương trình $y^2=x^3-6$ không có nghiệm tự nhiên.
Giải:
Giả sử ngược lại. Nếu $x$ chẵn thì $y^2 \equiv -6 \equiv 2 (mod 8)$ ( vô lí với số chính phương )
Nên $x$ lẻ, $y$ lẻ và $x^3=y^2+6 \equiv 7 (mod 8)$ Ta cũng có: $x^3 \equiv x (mod 8 ) \forall x$ lẻ, nên $x \equiv 7 (mod 8)$
Viết lại:
$y^2-2=(x-2)(x^2+2x+4)$ với $x^2+2x+4 \equiv 7^2+2.7+4 \equiv 3 (mod 8)$. Vì thế phải có ước $p \equiv \pm 3 (mod 8)$ vì nếu không $x^2+2x+4 \equiv \pm 1 (mod 8)$. Ta có $2 \equiv y^2 (mod p) \Rightarrow p \equiv \pm 1 (mod 8)$ ( Mâu thuẫn)
Blog này tổng hợp các bài toán hay, các bài giảng chọn lọc về nhiều chủ đề: đại số, hình học, giải tích, số học và tổ hợp liên quan đến Toán Olympic và Toán thi ĐH.
Đăng ký:
Đăng Nhận xét (Atom)
Bất đẳng thức tuyển sinh lớp 10 chọn lọc
Trong bài viết này, tác giả giới thiệu một số bài BĐT nhẹ nhàng nhưng ý tưởng tương đối mới, mức độ phù hợp với đề thi tuyển sinh vào lớp...
-
I) Hàm phần nguyên: 1) Định nghĩa Phần nguyên của một số thực x là số nguyên lớn nhất không vượt quá x. Kí hiệu là [x]. 2) Tính chất...
-
Trong thế giới bất đẳng thức , ngoài những bất đẳng thức kinh điển và được áp dụng rất nhiều như bất đẳng thức AM – GM, bất đẳng thức Cauc...
-
1) $(F_n,F_{n+1})=1$ 2) Nếu $n |m $ thì $F_n |F_m$ Ta chỉ cần chứng minh tính chất sau: $F_{m+n}=F_{m-1}F_{n+1}+F_{m}.F_{n}$ Quy nạp th...
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét