Đề: Cho $x, y>0$ và $x^2+y^3 \ge x^3+y^4$. Chứng minh rằng $x^3+y^3 \ge 2$
Lời giải:
Từ giả thiết $(x^3-x^2)+(y^4-y^3) \ge 0$
Ta sẽ tìm k sao cho $x^3-1 \le k(x^3-x^2), y^3-1 \le k(y^4-y^3)$
Dấu bằng xảy ra khi $x=y=1$ nên số k thích hợp là số sao cho các đường cong:
$f(t)=t^3-1, g(t)=k(t^3-t^2), h(t)=k(t^4-t^3)$ tiếp xúc nhau tại điểm t=1
Do g(t) và h(t) tiếp xúc nhau tại t=1, nên ta tìm k sao cho f(t) và g(t) tiếp xúc với t=1 là đủ.
Điều kiện để hai đồ thị tiếp xúc với nhau là:
$\left\{\begin{matrix}
f(x_o)=g(x_o) & \\
f'(x_o)=g'(x_o) &
\end{matrix}\right.$
Thay $x_o=1$ vào ta tìm được $k=3$
Ta kiểm chứng: $x^3-1 \le 3(x^3-x^2) \Leftrightarrow (2x+1)(x-1)^2\ge0\\y^3-1\le3(y^4-y^3)\Leftrightarrow (3y^2+2y+1)(y-1)^2\ge0$
Cộng các vế ta có đpcm.
Tương tự ta có thể chứng minh bất đẳng thức sau: http://diendantoanhoc.net/topic/160967-max-hxy/?p=641961
Blog này tổng hợp các bài toán hay, các bài giảng chọn lọc về nhiều chủ đề: đại số, hình học, giải tích, số học và tổ hợp liên quan đến Toán Olympic và Toán thi ĐH.
Đăng ký:
Đăng Nhận xét (Atom)
Bất đẳng thức tuyển sinh lớp 10 chọn lọc
Trong bài viết này, tác giả giới thiệu một số bài BĐT nhẹ nhàng nhưng ý tưởng tương đối mới, mức độ phù hợp với đề thi tuyển sinh vào lớp...
-
I) Hàm phần nguyên: 1) Định nghĩa Phần nguyên của một số thực x là số nguyên lớn nhất không vượt quá x. Kí hiệu là [x]. 2) Tính chất...
-
Trong thế giới bất đẳng thức , ngoài những bất đẳng thức kinh điển và được áp dụng rất nhiều như bất đẳng thức AM – GM, bất đẳng thức Cauc...
-
1) $(F_n,F_{n+1})=1$ 2) Nếu $n |m $ thì $F_n |F_m$ Ta chỉ cần chứng minh tính chất sau: $F_{m+n}=F_{m-1}F_{n+1}+F_{m}.F_{n}$ Quy nạp th...
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét