Bài toán: Cho dãy số $(u_n)$ xác định như sau: $u_1=1, u_2=2, u_n=u_{n-1}+u_{n-2}$ (n=3,4..)
Chứng minh dã số $(x_n)$ xác định bởi $x_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{u_{k}}$ hội tụ.
Ta thấy rằng $(u_n)$ càng lớn nếu n càng lớn nên tổng $x_n$ một lúc nào đó sẽ không thay đổi với $k \ge n_o$.
Tuy vậy ta có cách giải khác:
Ta chứng minh rằng $u_n \ge (\sqrt{2})^{n-1})$
với n=1, 2 thì $u_1=1, u_2=2$ đúng.
Giả sử đúng với $n=k$ khi n=k+1 thì:
$u_{k+1}=u_k+u_{k-1} \ge \sqrt{2}^{k-1}(\sqrt{2}+1) >\sqrt{2}^{k+1}$
$\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{u_k}\le\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{(\sqrt{2})^{k-1}}$
Đến đây dùng công thức cấp số nhân để tính tổng và $(u_n)$ tăng ta có dpcm
Blog này tổng hợp các bài toán hay, các bài giảng chọn lọc về nhiều chủ đề: đại số, hình học, giải tích, số học và tổ hợp liên quan đến Toán Olympic và Toán thi ĐH.
Thứ Tư, 14 tháng 9, 2016
Đăng ký:
Đăng Nhận xét (Atom)
Bất đẳng thức tuyển sinh lớp 10 chọn lọc
Trong bài viết này, tác giả giới thiệu một số bài BĐT nhẹ nhàng nhưng ý tưởng tương đối mới, mức độ phù hợp với đề thi tuyển sinh vào lớp...
-
I) Hàm phần nguyên: 1) Định nghĩa Phần nguyên của một số thực x là số nguyên lớn nhất không vượt quá x. Kí hiệu là [x]. 2) Tính chất...
-
Trong thế giới bất đẳng thức , ngoài những bất đẳng thức kinh điển và được áp dụng rất nhiều như bất đẳng thức AM – GM, bất đẳng thức Cauc...
-
1) $(F_n,F_{n+1})=1$ 2) Nếu $n |m $ thì $F_n |F_m$ Ta chỉ cần chứng minh tính chất sau: $F_{m+n}=F_{m-1}F_{n+1}+F_{m}.F_{n}$ Quy nạp th...
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét