Ta định nghĩa: số nguyên dương n là "số chính phương tự do" - "square-free" khi n không có dạng $n=mp^2$ với m là số nguyên dương nào đó, $p$ là số nguyên tố.
Bài toán: (India MO 1995). Gọi n là số nguyên không âm sao cho n là ước của tổng:
$1+\sum_{i=1}^{n-1}i^{n-1}$.
Chứng minh rằng: n là một số chính phương tự do.
Lời giải:
Giả sử $n=mp^2$ khi đó:
$1+\sum_{i=1}^{n-1}i^{n-1}=1+\sum_{j=0}^{p-1}\sum_{k=0}^{mp-1}(kp+j)^{n-1}\equiv1+mp(\sum_{j=0}^{p-1}j^{n-1})\equiv1(mod p)$
Suy ra tổng đó không chia hết cho $p$, mâu thuẫn với đề bài. Vậy ta có đpcm
Blog này tổng hợp các bài toán hay, các bài giảng chọn lọc về nhiều chủ đề: đại số, hình học, giải tích, số học và tổ hợp liên quan đến Toán Olympic và Toán thi ĐH.
Đăng ký:
Đăng Nhận xét (Atom)
Bất đẳng thức tuyển sinh lớp 10 chọn lọc
Trong bài viết này, tác giả giới thiệu một số bài BĐT nhẹ nhàng nhưng ý tưởng tương đối mới, mức độ phù hợp với đề thi tuyển sinh vào lớp...
-
I) Hàm phần nguyên: 1) Định nghĩa Phần nguyên của một số thực x là số nguyên lớn nhất không vượt quá x. Kí hiệu là [x]. 2) Tính chất...
-
Trong thế giới bất đẳng thức , ngoài những bất đẳng thức kinh điển và được áp dụng rất nhiều như bất đẳng thức AM – GM, bất đẳng thức Cauc...
-
1) $(F_n,F_{n+1})=1$ 2) Nếu $n |m $ thì $F_n |F_m$ Ta chỉ cần chứng minh tính chất sau: $F_{m+n}=F_{m-1}F_{n+1}+F_{m}.F_{n}$ Quy nạp th...
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét