Bài toán : Cho các số nguyên dương thỏa mãn hệ thức . Chứng minh rằng là lũy thừa bậc năm của một số nguyên.
Lời giải :
Gọi là cặp số thỏa mãn đề bài và có tổng nhỏ nhất. Ta giả sử .
Xét phương trình bậc hai ẩn :
Vì thỏa mãn đề bài nên là một nghiệm của phương trình . Gọi nghiệm còn lại là . Theo định lí :
Ta có nên từ suy ra .
Các cặp đều thỏa mãn mà nhỏ nhất nên :
.
Như vậy
- Trường hợp 1 : thay vào thì
- Trường hợp 2 : thì từ ta được :
Dễ thấy cùng tính chẵn lẻ mà
Trường hợp này không xảy ra
- Trường hợp 3 :
Suy ra
Do đó từ suy ra
Khi thì từ suy ra , vì . Vô lí vì phải có .
Tương tự khi xét . Tất cả đều dẫn đến vô lí. Trường hợp này loại.
Do đó ta luôn có là lũy thừa bậc năm của một số nguyên. Đây là điều phải chứng minh.
test code :) :)) =p~ =p~ cheer x-)
Trả lờiXóa