(PTNK 2014) Tìm tất cả các hàm số f: N* --> N* thỏa mãn hệ thức $ f(f(n)/n) = n^2 $ với mọi n nguyên dương. N* ký hiệu tập hợp các số nguyên dương.
Giải:
Đặt $f(n)=ng(n)$ thì $g: N^*-> N^*$.
Khi đó $f(\frac{f(n)}{n})=n^2 \Leftrightarrow g(n)g(g(n))=n^2$.
Lấy logarit hai vế ta có: $ ln{g(n)}+ln{g(g(n))}=2ln{n}$.
Đến đây ta xét dãy sau:
$u_0=ln{x};x\in N^*$ và $u_n=ln{g_n(x)}$ trong đó $g_n(x)=g(...g(n)...)$ với n lần lấy hàm g.
Ta có: $u_n\geqslant0$ và $u_{n+2}+u_{n+1}-2u_n=0$.
Công thức tổng quát: $u_n=\frac{2ln{x}+ln{g(x)}}{3}+\frac{ln{x}-ln{g(x)}}{3}(-2)^n$.
Nếu tồn tại $x$ sao cho $ln{x}-ln{g(x)}<0$ thì $u_{2n}<0$ với n đủ lớn (mt)
Nếu tồn tại $x$ sao cho $ln{x}-ln{g(x)}>0$ thì $u_{2n+1}<0$ với n đủ lớn (mt).
Vậy $ln{g(x)}=ln{x}$ với mọi $x \in N^*$. Suy ra $f(n)=n^2$
Blog này tổng hợp các bài toán hay, các bài giảng chọn lọc về nhiều chủ đề: đại số, hình học, giải tích, số học và tổ hợp liên quan đến Toán Olympic và Toán thi ĐH.
Đăng ký:
Đăng Nhận xét (Atom)
Bất đẳng thức tuyển sinh lớp 10 chọn lọc
Trong bài viết này, tác giả giới thiệu một số bài BĐT nhẹ nhàng nhưng ý tưởng tương đối mới, mức độ phù hợp với đề thi tuyển sinh vào lớp...
-
I) Hàm phần nguyên: 1) Định nghĩa Phần nguyên của một số thực x là số nguyên lớn nhất không vượt quá x. Kí hiệu là [x]. 2) Tính chất...
-
Trong thế giới bất đẳng thức , ngoài những bất đẳng thức kinh điển và được áp dụng rất nhiều như bất đẳng thức AM – GM, bất đẳng thức Cauc...
-
1) $(F_n,F_{n+1})=1$ 2) Nếu $n |m $ thì $F_n |F_m$ Ta chỉ cần chứng minh tính chất sau: $F_{m+n}=F_{m-1}F_{n+1}+F_{m}.F_{n}$ Quy nạp th...
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét