Bất đẳng thức jensen cho bài IMO 2009

Đề bài: Cho a,b,c là các số thực dương thỏa: $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=a+b+c$ Chứng minh rằng:

$\frac{1}{(2a+b+c)^2}+\frac{1}{(2b+c+a)^2}+\frac{1}{(2c+a+b)^2}\le\frac{3}{16}$

Câu bất này quá quen thuộc với cách giải AM-GM, sau đây tôi xin trình bày cách giải bằng bất đẳng thức jensen:

Bất đẳng thức tương đương:

$\frac{(a+b+c)^2}{(2a+b+c)^2}+\frac{(a+b+c)^2}{(2b+c+a)^2}+\frac{(a+b+c)^2}{(2c+a+b)^2}\le(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\frac{3}{16}$

Do tính đồng bậc, chuẩn hóa $a+b+c=1$. Bất đẳng thức được viết lại:

$\frac{1}{(1+a)^2}+\frac{1}{(1+b)^2}+\frac{1}{(1+c)^2} \leq  (\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\frac{3}{16}$

Giờ xét hàm $f(x)=\frac{x}{(1+x)^2}(0 \le x \le 1)$ thì đây là hàm lõm và nghịch biến nên áp dụng bdt jensen ta được:

$\alpha \frac{a}{(1+a)^2}+\beta \frac{b}{(1+b)^2}+\gamma \frac{c}{(1+c)^2}\le (\alpha +\beta +\gamma )\frac{A}{(1+A^2)} (A=\frac{\alpha a+\beta b+\gamma c}{\alpha +\beta +\gamma })$

Chọn $\alpha =\frac{1}{a},\beta =\frac{1}{b},\gamma =\frac{1}{c}$
Áp dụng bất đẳng thức trung bình điều hòa:

$A=\frac{3}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}\leq \frac{a+b+c}{3}=\frac{1}{3} $

Như vậy: $\sum \frac{1}{(1+a)^2}\le(\sum \frac{1}{a})\frac{A}{(1+A)^2} \le\sum \frac{1}{a} \frac{\frac{1}{3}}{(1+\frac{1}{3})^2}=\frac{3}{16}(\sum \frac{1}{a})$