Bài toán 1: Tam giác ABC không cân $\Delta ABC$. $E,F$ là các chân đường cao từ $B,C$ trên $AC,AB$, H là trực tâm
$E,Q$ trên $[FB);[EC)$ sao cho: $FP=FC; EQ=EB$
$BQ$ cắt $CP$ tại $K$.
$I,J$ là trung điểm của $BQ,CP$.
$IJ$ cắt $BC,PQ$ tại $M,N$
1/ Chứng minh: $HK\bot IJ$
2/ $\widehat{PAM}=\widehat{QAN}$
Lời giải:
Ta có $\overline{HF}.\overline{HC}=\overline{HE}.\overline{HE}$
Nên $H$ thuộc trục đẳng phương của $[CP]$ và $[BQ]$
$BCQP$ là tứ giác nội tiếp nên $\overline{KC}.\overline{KP}=\overline{KB}.\overline{KQ}$
Vì thế $K$ thuộc trục đẳng phương $[CP]$ và $[BQ]$
Vậy $HK\perp IJ$
(b)
Ta có $\dfrac{\overline{IQ}}{\overline{IB}}=\frac{\overline{JP}}{\overline{JC}}$
Áp dụng bổ đề ERIQ được: $\dfrac{\overline{BM}}{\overline{MC}}=\dfrac{\overline{QN}}{\overline{NP}}\Rightarrow đpcm$
Bài toán 2 (Juliel blog) : Cho tứ giác nội tiếp được đường tròn. Gọi lần lượt là các giao điểm của và , và . Gọi là giao điểm của phân giác hai góc . lần lượt là trung điểm của . Chứng minh rằng thẳng hàng.
Lời giải :
Gọi lần lượt là giao điểm của với .
Ta sẽ chứng minh .
Thật vậy, ta có
Mà trong tam giác thì cũng là phân giác, do đó nó cũng là trung tuyến, hay .
Theo tính chất phân giác :
Mà theo hệ thức lượng trong đường tròn thì
Suy ra
Xét hai bộ ba điểm thẳng hàng các điểm lần lượt thuộc và thỏa mãn (chứng minh trên)
Các điểm lần lượt thuộc và thỏa
Như vậy theo bổ đề ta có thẳng hàng. Đây là điều phải chứng minh.
Blog này tổng hợp các bài toán hay, các bài giảng chọn lọc về nhiều chủ đề: đại số, hình học, giải tích, số học và tổ hợp liên quan đến Toán Olympic và Toán thi ĐH.
Đăng ký:
Đăng Nhận xét (Atom)
Bất đẳng thức tuyển sinh lớp 10 chọn lọc
Trong bài viết này, tác giả giới thiệu một số bài BĐT nhẹ nhàng nhưng ý tưởng tương đối mới, mức độ phù hợp với đề thi tuyển sinh vào lớp...
-
I) Hàm phần nguyên: 1) Định nghĩa Phần nguyên của một số thực x là số nguyên lớn nhất không vượt quá x. Kí hiệu là [x]. 2) Tính chất...
-
Trong thế giới bất đẳng thức , ngoài những bất đẳng thức kinh điển và được áp dụng rất nhiều như bất đẳng thức AM – GM, bất đẳng thức Cauc...
-
1) $(F_n,F_{n+1})=1$ 2) Nếu $n |m $ thì $F_n |F_m$ Ta chỉ cần chứng minh tính chất sau: $F_{m+n}=F_{m-1}F_{n+1}+F_{m}.F_{n}$ Quy nạp th...
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét