Bài toán quốc tế về đường tròn nội tiếp

Đề bài: (IMO 2008) Cho ABCD là tức giác lồi sao cho BA $\ne$ BC. $(I_1 ), (I_2 )$ I lần lượt là đường tròn nội tiếp ABC, ADC .Giả sử tồn tại một đường tròn (I) tiếp xúc với tia BA,BC và tiếp xúc với AD,CD.Chứng minh rằng :tiếp tuyến chung ngoài của $(I_1 ), (I_2 )$ cắt nhau tại điểm nằm trên (I).

Lời giải:

Gọi giao điểm của $(I_1 ), (I_2 )$ với AC lần lượt là J,L Ta dễ chứng minh được 2 điều sau :
1) AB+AD=BC+CD. (  Dùng các tính chất của tiếp tuyến cắt nhau cho (I), $(I_1 ), (I_2 )$) )
2)AL=JC.  (Suy ra từ 1)

Vẽ các tiếp tuyến của (I), $(I_1 ), (I_2 )$ và song song với AC,các tiếp tuyến này lần lượt tiếp xúc với 3 đường tròn trên tại Z,M,N.
Khi đó, thì ta có:B,M,L,Z (Do JM là đường kính của $(I_1)$, L là tiếp điểm bàng tiếp, và B là tâm của phép vị tự biến I thành $I_1$) và D,N,J,Z thẳng hàng (tương tự) . Lại có:JM và LN song song và là đường kính$(I_1 ), (I_2 )$ ( Chứng minh trùng và lưu ý $I_1, I_2$ và tâm vị tự của chúng thẳng hàng) nên JN và LN cắt nhau tại tâm vị tự ngoài của $(I_1 ), (I_2 )$ . Theo tính chất của tâm vị tự ngoài thì đó là giao điểm hai tiếp tuyến chung ngoài của $(I_1 ), (I_2 )$ nên ta có đpcm.