Chứng minh rằng: $\frac{a}{ac+1}+\frac{b}{ab+1}+\frac{c}{bc+1}\leq \frac{1}{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2})$

Đề bài: Cho a,b,c là 3 số thực dương thỏa mãn abc=1. Chứng minh rằng:

$\frac{a}{ac+1}+\frac{b}{ab+1}+\frac{c}{bc+1}\leq \frac{1}{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2})$


Lời giải:

Ta có:

$ \frac{a}{ca+1}+\frac{b}{ab+1}+\frac{c}{bc+1}\leq \frac{1}{2} (a^{2}+b^{2}+c^{2})$
$\iff \frac{ab}{1+b}+\frac{bc}{1+c}+\frac{ca}{1+a}\leq \frac{1}{2} \left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right) .$
Dùng cô si ở mẫu ta được $\frac{ab}{1+b}+\frac{bc}{1+c}+\frac{ca}{1+a}\leq \frac{1}{2} \left(a\sqrt{b}+b\sqrt{c}+c\sqrt{a}\right) . $Ta chỉ cần chứng minh \[\color{red}a\sqrt{b}+b\sqrt{c}+c\sqrt{a}\leq a^2+b^2+c^2.\] Ta có bất đẳng thức sau \[\color{blue}a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca\]và \[\color{blue}a^2+b^2+c^2\geq a+b+c,\]AM-GM một lần nữa $\color{red}AM-GM:$ \[\color{blue}2(a^2+b^2+c^2)\geq (ab+a)+(bc+b)+(ca+c)\geq 2(a\sqrt{b}+b\sqrt{c}+c\sqrt{a})\]$\color{red}\Longrightarrow$ \[\color{blue}a^2+b^2+c^2\geq a\sqrt{b}+b\sqrt{c}+c\sqrt{a},\]Vậy ta có đpcm