Let $ABC$ be a triangle with circumcircle $(O)$. $(K)$ is a circle passing through $B,C$. $(K)$ cuts $CA,AB$ again at $E,F$. $BE$ cuts $CF$ at $H_K$.
a) Prove that $H_KK$ and $AO$ intersect on $(O)$.
b) $O_K$ is isogonal conjugate of $H_K$ with respect to triangle $ABC$. Prove that $O_K$ lies on $OK$.
c) Let $L,N$ be the points on $CA,AB$, resp such that $O_KL\parallel BE, O_KN\parallel CF$. Prove that $LN\parallel BC$.
d) The line passing through $N$ parallel to $BE$ cuts the line passing through $L$ parallel to $CF$ at $P$. Prove that $P$ lies on $AH_K$.
e) $Q,R$ lie on $BE,CF$, resp such that $PQ\parallel AB,PR\parallel AC$. Prove that $QR\parallel BC$.
f) Prove that $NQ,LR$ and $AH_K$ are concurrent.
g) $D$ is projection of $K$ on $AH_K$. Prove that $DK,EF,BC$ are concurrent.
h) Prove that $KN\perp BE, KL\perp CF$.
i) Prove that nine points $D,E,F;P,Q,R;K,L,N$ lie on a circle $(N_K)$.
j) Prove that $N_K$ is midpoint of $PK$ and $KN_K$ is parallel to $AO$.
k) Prove that $H_K,N_K,O$ are collinear.
When $K \equiv M$ midpoint of $BC$, we get all properities of Nine-point circle.
Solution:
a, g) Let $S \equiv EF \cap BC.$ Then $AS$ is the polar of $H_K$ WRT $(K)$ and $AH_K$ is the polar of $S$ WRT $(K)$ $\Longrightarrow$ $KH_K$ is perpendicular to $AS$ through $H$ and $AH_K$ is perpendicular to $KS$ through $D.$ Hence $SH \cdot SA=SD \cdot SK=SB \cdot SC$ $\Longrightarrow$ $H \in (O).$ Since $\angle AHH_K=90^{\circ},$ then $KH_K$ and $AO$ meet on $(O).$
b, c) $\angle O_KBC=\angle H_KBF=\angle H_KCE=\angle O_KCB$ $\Longrightarrow$ $O_K$ is on perpendicular bisector $OK$ of $\overline{BC}.$ $\angle BFC=\angle BNO_K=\angle BKO_K$ (mod 180) $\Longrightarrow$ $N,B,K,O_K$ are concyclic $\Longrightarrow$ $\angle BNK=\angle BO_KK.$ But $\angle BO_KK=90^{\circ}-\angle FBE=\angle FEK$ $\Longrightarrow$ $\angle BNK=\angle FEK,$ i.e. $N$ lies on circumcircle $(N_K)$ of $DKEF.$ Similarly, $L \in (N_K).$ Thus, $LN$ is antiparallel to $EF$ WRT $AE,AF$ $\Longrightarrow$ $LN \parallel BC.$
d, f)$\triangle PLN$ and $\triangle H_KCB,$ with parallel sides, are homothetic with center $A$ $\Longrightarrow$ $A,P,H_K$ are collinear. Likewise, $\triangle ANL$ and $\triangle PQR,$ with parallel sides, are homothetic with center $AP \cap NQ \cap LR,$ i.e. $AH_K,NQ,LR$ concur.
i) $\angle NKL=\angle NBO_K+\angle LCO_K=CBH_K+\angle BCH_K=\angle NPL$ (mod 180) $\Longrightarrow$ $P \in (N_K).$ Further, $P$ is the midpoint of the arc $EF$ of $(N_K),$ because $\angle PFK=\angle PDK=90^{\circ},$ i.e. $KP$ is perpendicular bisector of $\overline{EF}.$ Now, since $\angle PQE=\angle FBE=\angle PKE,$ it follows that $Q \in (N_K).$ Similarly, $R \in (N_K).$
h, j) $D,E,F,P,Q,R,K,L,N$ lie then on a circle $(N_K)$ with diameter $KP$ perpendicular to $EF,$ i.e. $KP \parallel AO.$ Thus, $KN$ is perpendicular to $PN \parallel BE$ and $KL$ is perpendicular to $PL \parallel CF.$
e, k) $\triangle PQR \cup (N_K)$ and $\triangle ABC \cup (O)$ are homothetic with center $H_K \equiv AP \cap BQ \cap CR,$ thus $QR \parallel BC$ and $H_K,O,N_K$ are collinear.
Blog này tổng hợp các bài toán hay, các bài giảng chọn lọc về nhiều chủ đề: đại số, hình học, giải tích, số học và tổ hợp liên quan đến Toán Olympic và Toán thi ĐH.
Đăng ký:
Đăng Nhận xét (Atom)
Bất đẳng thức tuyển sinh lớp 10 chọn lọc
Trong bài viết này, tác giả giới thiệu một số bài BĐT nhẹ nhàng nhưng ý tưởng tương đối mới, mức độ phù hợp với đề thi tuyển sinh vào lớp...
-
I) Hàm phần nguyên: 1) Định nghĩa Phần nguyên của một số thực x là số nguyên lớn nhất không vượt quá x. Kí hiệu là [x]. 2) Tính chất...
-
Trong thế giới bất đẳng thức , ngoài những bất đẳng thức kinh điển và được áp dụng rất nhiều như bất đẳng thức AM – GM, bất đẳng thức Cauc...
-
1) $(F_n,F_{n+1})=1$ 2) Nếu $n |m $ thì $F_n |F_m$ Ta chỉ cần chứng minh tính chất sau: $F_{m+n}=F_{m-1}F_{n+1}+F_{m}.F_{n}$ Quy nạp th...
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét