Bất đẳng thức với số thực

Đề bài: Cho ba số thực $a,b,c$ thỏa mãn điều kiện $a^2+b^2+c^2=4+abc.$ Chứng minh rằng


$(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)\ge 9+6(ab+bc+ca).$

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có $a^2+b^2+c^2=4+abc\geq 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}$

Đặt $\sqrt[3]{abc}=t\Rightarrow t^3+4\geq 3t^2\Leftrightarrow (t+1)(t-2)^2\geq 0\Leftrightarrow t\geq -1\Rightarrow abc\geq -1\Rightarrow a^2+b^2+c^2\geq 3$.

Ta sẽ chứng minh $3(a+b+c)^2\leq (a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)$.

Ta có $(a+b+c)^2=(a.1+\sqrt{2}.\frac{b+c}{\sqrt{2}})^2\leq (a^2+2)(1+\frac{(b+c)^2}{2})$.

Do đó ta chỉ cần chứng minh $(b^2+2)(c^2+2)\geq 3(1+\frac{(b+c)^2}{2})\Leftrightarrow (bc-1)^2+\frac{(b-c)^2}{2}\geq 0$ ( luôn đúng)

Vậy $(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)\geq 3(a+b+c)^2=3(a^2+b^2+c^2)+6(ab+bc+ca)\geq 9+6(ab+bc+ca)$ ( do $a^2+b^2+c^2\geq 3$).

Vậy ta có đpcm.

Nhận xét: Ở đây ta đã sử dụng bổ đề rất quen thuộc đó là: $3(a+b+c)^2\leq (a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)$.