Ứng dụng bất đẳng thức Bernoulli

 Cho $n$ số thực dương  $a_1,a_2,\dots ,a_n.$ Chứng minh rằng;

$\prod_{i=1}^{n} \left(1+\frac{1}{a_i}\right)^{a_{i+1}-a_i} \geqslant 1,$

Lời giải:





Áp dụng BĐT $Bernoulli,$ ta có:

$$\left(1+\frac{1}{a_i}\right)^{a_{i+1}-a_i}\geq 1+\frac{a_{i+1}-a_i}{a_i}=\frac{a_{i+1}}{a_i}$$

Do đó:

$$\prod_{i=1}^{n} \left(1+\frac{1}{a_i}\right)^{a_{i+1}-a_i}\geq \frac{a_2}{a_1}.\frac{a_3}{a_2}\cdots \frac{a_1}{a_n}=1$$