Bài toán: Xét tất cả các số nguyên tố $p_1 < p_2 <..p_n<..$ Đặt $a_n=p_1+p_2+..+p_n$. Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương, nằm giữa $a_n$ và $a_{n+1}$ có ít nhất một số chính phương.
Giải:
Bổ đề: Với $n \ge 4$ thì $p_{n+1} > 2\sqrt{p_1+p_2+..+p_n}+1$
Chứng minh:
Với n=4, đúng.
Giả sử đúng với n=k tức là:
$p_{k+1} > 2\sqrt{p_1+p_2+..+p_k}+1$
Hay là $(p_{k+1}-1)^2 >4 (p_1+p_2+..+p_k)$
Ta cần chứng minh: $(p_{k+2}-1)^2 >4 (p_1+p_2+..+p_{k+1})$
Hay chỉ cần chứng minh: $(p_{k+2}-1)^2 \ge (p_{k+1}-1)^2 +4p_{k+1}$
Điều này tương đương $(p_{k+2}-p_{k+1})(p_{k+2}+p_{k+1}-2) \ge 4p_{k+1}$
Điều này là hiển do khoảng cách 2 số nguyên tố liên tiếp bé nhất là 2. Vậy ta có đpcm
Quay lại bài toán
Với n=1, thì giữa 2 và 5 tồn tại 4 là số chính phương.
Tương tự cho n=2,3,4
Giả sử đúng với n=k tức là giữa $a_k$ và $a_{k-1}$ tồn tại ít nhất một số chính phương, ta gọi $a^2$ là số chính phương lớn nhất trong các số chính phương đó.
$(a+1)^2 > a_{k}$
Áp dụng bổ đề thì $p_{k+1}>2a+1$ nên $a_{k+1} >(a+1)^2$.
Blog này tổng hợp các bài toán hay, các bài giảng chọn lọc về nhiều chủ đề: đại số, hình học, giải tích, số học và tổ hợp liên quan đến Toán Olympic và Toán thi ĐH.
Đăng ký:
Đăng Nhận xét (Atom)
Bất đẳng thức tuyển sinh lớp 10 chọn lọc
Trong bài viết này, tác giả giới thiệu một số bài BĐT nhẹ nhàng nhưng ý tưởng tương đối mới, mức độ phù hợp với đề thi tuyển sinh vào lớp...
-
I) Hàm phần nguyên: 1) Định nghĩa Phần nguyên của một số thực x là số nguyên lớn nhất không vượt quá x. Kí hiệu là [x]. 2) Tính chất...
-
Trong thế giới bất đẳng thức , ngoài những bất đẳng thức kinh điển và được áp dụng rất nhiều như bất đẳng thức AM – GM, bất đẳng thức Cauc...
-
1) $(F_n,F_{n+1})=1$ 2) Nếu $n |m $ thì $F_n |F_m$ Ta chỉ cần chứng minh tính chất sau: $F_{m+n}=F_{m-1}F_{n+1}+F_{m}.F_{n}$ Quy nạp th...
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét