Bài toán đường thẳng qua tâm và đề thi PTNK

(PTNK 2014 -2015) Cho $\triangle ABC$ không cân.Gọi $I$ là trung điểm $BC$.Đường tròn $(I,IA)$ cắt $AB,AC$ lần lượt tại $M,N$.$MI,NI$ lần lượt cắt $(I)$ tại $P,Q$.Gọi $K$ là giao của $PQ$ với tiếp tuyến tại $A$ của $(I)$.Chứng minh $K$ nằm trên $BC$.

Lời giải:

Ta dễ thấy ngay $KA$ là trục đẳng phương của $(I)$ và đường tròn đường kính $AI$.Từ đó ý tưởng phương tích-trục đẳng phương là sáng sủa nhất.

[IMG]

[/IMG]

Kẻ đường kính $AA'$ của $(I)$.Khi đó các tứ giác:$AMA'P$,$ANA'Q$ và $ABA'C$ là hình bình hành nên $A',C,P$ và $A',B,Q$ thẳng hàng.

Từ đó $\angle AQB=\angle APC=90$.

Kẻ đường cao $AH$ thì $H \in (ABQ),(ACP)$

Từ đó: $\angle QHB=\angle QAB=\angle QPM$

Suy ra $QHIP$ là tứ giác nội tiếp.

Do đó $HI$ là trục đẳng phương của đường tròn đường kính $AM$ và $(QHIP)$.

Và thêm nữa là $PQ$ là trục đẳng phương của $(I)$ và $(QHIP)$.

Từ đó thì $AK,PQ,HI$ đồng qui nên ta có đpcm.

Để ý thì ta sẽ thấy tam giác AMN có BC là đường thẳng qua tâm, có thể dùng Pascal để chứng minh QB, CP cắt nhau tại A' thuộc (I) nhưng chưa chỉ ra được AA' là đường kính có thể chỉ ra bằng cách do QB // CN. Như vậy bài toán là cách dựng tam giác ABC nội tiếp (O) và đường thẳng sao cho d đi 

qua tâm và cắt AB, AC tại E, F sao cho O là trung điểm EF.