Đề bài: Cho tam giác ABC, D là điểm cố định trên BC. P là điểm nằm trong tam giác ABC. Gọi $B_1$, $C_1$ lần lượt là hình chiếu của P lên CA, AB. $DB_1, DC_1$ cắt AB, AC tại $C_2, B_2$. Giao điểm khác A của đường tòn ngoại tiếp $AB_1C_1, AB_2C_2$ là Q. Chứng minh rằng PQ luôn đi qua điểm cố định
Lời giải:
Kẻ DE, DF song song AB, AC. đường thẳng qua E, F vuông AC, AB cắt nhau tại I.
Theo tỉ số kép thì $(C_1C_2F)=D(C_1C_2FE)=D(C_2C_1EF)=(B_1B_2E)$
Ngoài ra có phép vị tự quay tâm Q do có $B_1B_2$ cắt $C_1C_2$ tại A và $QAB_1C_1$, $QAB_2C_2$ nội tiếp,
Phép vị tự quay tâm Q biến tam giác $QC_1C_2$ thành tam giác $QB_1B_2$
$QC_1C_2 \sim QB_1B_2$
Do có tỉ số kép nên $QB_2C_2 \sim QEF$
$ \Rightarrow \angle B_2QC_2= \angle EQF= 180^o- \angle FIE$
Vậy QI vuông AQ, mặt khác $PQ \perp AQ$
Vậy I, P, Q thẳng hàng
Nên PQ đi qua I cố định
Blog này tổng hợp các bài toán hay, các bài giảng chọn lọc về nhiều chủ đề: đại số, hình học, giải tích, số học và tổ hợp liên quan đến Toán Olympic và Toán thi ĐH.
Đăng ký:
Đăng Nhận xét (Atom)
Bất đẳng thức tuyển sinh lớp 10 chọn lọc
Trong bài viết này, tác giả giới thiệu một số bài BĐT nhẹ nhàng nhưng ý tưởng tương đối mới, mức độ phù hợp với đề thi tuyển sinh vào lớp...
-
I) Hàm phần nguyên: 1) Định nghĩa Phần nguyên của một số thực x là số nguyên lớn nhất không vượt quá x. Kí hiệu là [x]. 2) Tính chất...
-
Trong thế giới bất đẳng thức , ngoài những bất đẳng thức kinh điển và được áp dụng rất nhiều như bất đẳng thức AM – GM, bất đẳng thức Cauc...
-
1) $(F_n,F_{n+1})=1$ 2) Nếu $n |m $ thì $F_n |F_m$ Ta chỉ cần chứng minh tính chất sau: $F_{m+n}=F_{m-1}F_{n+1}+F_{m}.F_{n}$ Quy nạp th...
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét