Bài 1 (Thái Bình) : Cho a,b, c là các số thực dương thỏa mãn abc=1. Chứng minh rằng:
$\sum \frac{(3a-1)^2}{2a^2+1}\ge4$
Bài 2: (TP HCM) Chứng minh rằng với mọi a,b, c dương ta đều có:
$\sum \frac{1}{a(1+b)}\ge\frac{3}{1+abc}$
Bài 3: (PTNK): Cho a,b,c dương thỏa mãn: ab+bc+ca=1. Chứng minh rằng:
$\sum \frac{1}{3+2(a^2-bc)}\ge1$
Giải:
Bài 1: Áp dụng bất đẳng thức C-S ta đưa về chứng minh:
$(a^2+b^2+c^2)+18(ab+bc+ca-a-b-c)-3 \ge 0$
Đặt VT= f(a,b,c), đặt $t=\sqrt{ab}$
$f(a,b,c)-f(t,t,c)=a^2+b^2-2ab+18((c-1)(a+b)-(c-1)2t) \ge 0 $ Đúng nếu ta giả sử c=max
Như vậy ta chỉ cần chứng minh:
$2t^2+c^2+18(t^2+2tc-2t-c)-3 \ge0 $
Do $c.t^2=1$
Sau khi rút gọn ta sẽ đưa về:
$(t-1)^2(t+1)(5t+1)(2t-1)^2 \ge 0$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1, a=b=1/2, c=4
Bài 2:
Bất đẳng thức tương đương:
$\sum \frac{1+abc}{a(1+b)}\ge 3 \Leftrightarrow \sum (1+\frac{1+abc}{a(1+b)})\ge 6\\\Leftrightarrow \sum (\frac{a+1+ab(c+1)}{a(1+b)})\ge 6 \Leftrightarrow \sum (\frac{a+1}{a(1+b)}+\frac{a(b+1)}{1+a})\ge6$ (đúng theo AM-GM)
Bài 3:
Đặt ab=x, bc=y, ca=z ta đưa về bất đẳng thức:
x,y,z dương thỏa mãn x+y+z=1, và:
$\sum \frac{x}{3x+2yz-x^2}\ge1$
Nhận xét mẫu số là số dương do 3x+2yz-x^2=3x(x+y+z)+2yz-x^2 >0. Áp dụng bdt C-S:
$\sum \frac{x}{3x+2yz-x^2}\ge \frac{(x+y+z)^2}{3(x^2+y^2+z^2)-2(x^3+y^3+z^3-3xyz)}=\frac{1}{3(x^2+y^2+z^2)-2(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)}=1$
Blog này tổng hợp các bài toán hay, các bài giảng chọn lọc về nhiều chủ đề: đại số, hình học, giải tích, số học và tổ hợp liên quan đến Toán Olympic và Toán thi ĐH.
Đăng ký:
Đăng Nhận xét (Atom)
Bất đẳng thức tuyển sinh lớp 10 chọn lọc
Trong bài viết này, tác giả giới thiệu một số bài BĐT nhẹ nhàng nhưng ý tưởng tương đối mới, mức độ phù hợp với đề thi tuyển sinh vào lớp...
-
I) Hàm phần nguyên: 1) Định nghĩa Phần nguyên của một số thực x là số nguyên lớn nhất không vượt quá x. Kí hiệu là [x]. 2) Tính chất...
-
Trong thế giới bất đẳng thức , ngoài những bất đẳng thức kinh điển và được áp dụng rất nhiều như bất đẳng thức AM – GM, bất đẳng thức Cauc...
-
1) $(F_n,F_{n+1})=1$ 2) Nếu $n |m $ thì $F_n |F_m$ Ta chỉ cần chứng minh tính chất sau: $F_{m+n}=F_{m-1}F_{n+1}+F_{m}.F_{n}$ Quy nạp th...
bài 1 có cách nào khác không
Trả lờiXóaChào bạn !
XóaĐây là bất đẳng thức của Vacs và chưa có cách chứng minh nào khác đẹp hơn cho nó http://www.artofproblemsolving.com/community/c6h246265p1352839